Resolva as seguintes EDOs utilizando transformada de Laplace.
y^{\prime \prime}-16 y^{\prime}=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com condições iniciais. Dados:
  • Equação: y'' - 16y' = 0.
  • Condições iniciais: y(0)=0 e y'(0)=2.
    O que se pede: resolver a EDO, ou seja, encontrar a função y(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a transformada de Laplace e por que a usamos: a transformada de Laplace converte funções de tempo t em funções de uma variável complexa s, transformando derivadas em polinômios em s. Isso facilita resolver EDOs algébricamente. Definição:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é uma variável (real ou complexa) tal que a integral converge. Aqui f(t) é a função no tempo e F(s) é sua imagem em s.
Exemplo rápido (útil depois): \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{s-a} para \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a). Isso vamos usar quando aparecer exponencial.

Passo 3

Transformadas das derivadas — fórmulas-chave (são fórmulas padrão; explico o porquê rapidamente): se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas resultam da integração por partes aplicada à definição da transformada. Nas fórmulas, y(0) e y'(0) são os valores iniciais da função e sua derivada no instante t=0.

Passo 4

Aplicar a transformada de Laplace à equação dada. Tomando \mathcal{L} em ambos os lados de
y''-16y'=0,
temos
\mathcal{L}\{y''\}(s)-16\mathcal{L}\{y'\}(s)=0.
Agora usamos as fórmulas do Passo 3 para substituir cada transformada em termos de Y(s) e das condições iniciais.

Passo 5

Substituindo as expressões das derivadas:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)-16\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)=0.
Agora colocamos os valores das condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=2:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\cdot 0-2\bigr)-16\bigl(sY(s)-0\bigr)=0.
Isso simplifica para
s^{2}Y(s)-2-16sY(s)=0.

Passo 6

Isolando Y(s). Agrupando os termos que contêm Y(s):
\bigl(s^{2}-16s\bigr)Y(s)-2=0.
Logo
\bigl(s^{2}-16s\bigr)Y(s)=2.
Fatorando s em s^{2}-16s:
s(s-16)Y(s)=2.
Portanto
Y(s)=\frac{2}{s(s-16)}.

Passo 7

Precisamos agora encontrar y(t) aplicando a transformada inversa. Para isso é conveniente decompor Y(s) em frações parciais:
\frac{2}{s(s-16)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-16}.
Multiplicando ambos os lados por s(s-16) obtemos
2 = A(s-16)+Bs.
Esse é um polinômio em s. Para achar A e B podemos avaliar em valores convenientes:
  • Tomando s=0: 2 = A(0-16)+B\cdot 0 = -16A. Logo A=-\dfrac{2}{16}=-\dfrac{1}{8}.
  • Tomando s=16: 2 = A\cdot 0 + B\cdot 16. Logo B=\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}.
Assim
Y(s)=-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{s-16}.

Passo 8

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Sabemos que \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1 (a função constante 1) e \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-16}\right\}=e^{16t}. Portanto
y(t)=-\frac{1}{8}\cdot 1 + \frac{1}{8}\cdot e^{16t} = \frac{1}{8}\bigl(e^{16t}-1\bigr).
Esse é o candidato à solução da EDO com as condições iniciais.

Passo 9

Verificação rápida das condições iniciais (para ter confiança):
  • Em t=0: y(0)=\dfrac{1}{8}\bigl(e^{0}-1\bigr)=\dfrac{1}{8}(1-1)=0, ok.
  • Derivando y(t): y'(t)=\dfrac{1}{8}\cdot 16 e^{16t}=2e^{16t}. Então y'(0)=2e^{0}=2, ok.
    Também é fácil ver que y''-16y' = (32 e^{16t}) -16(2 e^{16t})=0. Tudo consistente.

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{1}{8}\bigl(e^{16t}-1\bigr)

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