Resolva as seguintes EDOs utilizando transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com condições iniciais. Dados:
- Equação:
. - Condições iniciais:
e .
O que se pede: resolver a EDO, ou seja, encontrar a funçãoque satisfaz a equação e as condições iniciais.
Passo 2
Vamos lembrar o que é a transformada de Laplace e por que a usamos: a transformada de Laplace converte funções de tempo
em funções de uma variável complexa
, transformando derivadas em polinômios em
. Isso facilita resolver EDOs algébricamente. Definição:
onde
é uma variável (real ou complexa) tal que a integral converge. Aqui
é a função no tempo e
é sua imagem em
.
Exemplo rápido (útil depois):
para
. Isso vamos usar quando aparecer exponencial.
Passo 3
Transformadas das derivadas — fórmulas-chave (são fórmulas padrão; explico o porquê rapidamente): se
, então
Essas fórmulas resultam da integração por partes aplicada à definição da transformada. Nas fórmulas,
e
são os valores iniciais da função e sua derivada no instante
.
Passo 4
Aplicar a transformada de Laplace à equação dada. Tomando
em ambos os lados de
temos
Agora usamos as fórmulas do Passo 3 para substituir cada transformada em termos de
e das condições iniciais.
Passo 5
Substituindo as expressões das derivadas:
Agora colocamos os valores das condições iniciais
e
:
Isso simplifica para
Passo 6
Isolando
. Agrupando os termos que contêm
:
Logo
Fatorando
em
:
Portanto
Passo 7
Precisamos agora encontrar
aplicando a transformada inversa. Para isso é conveniente decompor
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Esse é um polinômio em
. Para achar
e
podemos avaliar em valores convenientes:
- Tomando
: . Logo . - Tomando
: . Logo .
Assim
Passo 8
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Sabemos que
(a função constante 1) e
. Portanto
Esse é o candidato à solução da EDO com as condições iniciais.
Passo 9
Verificação rápida das condições iniciais (para ter confiança):
- Em
: , ok. - Derivando
: . Então , ok.
Também é fácil ver que. Tudo consistente.