Resolva as seguintes equações diferenciais fundamentais
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral
(a família de funções que satisfazem essa equação). Observação imediata das informações dadas:
- A expressão contém
, portanto a função não está definida em ; devemos considerar . - Não foi dada condição inicial, então procuraremos a solução geral com constante de integração.
Passo 2
Passo natural: escrever a equação em forma diferencial e integrar ambos os lados. Podemos rearranjar como
Usamos a propriedade linear da integral (regra da soma): a integral de uma soma é a soma das integrais. Logo
Passo 3
Agora calculamos cada integral. Primeiro, a integral de
. Usamos a regra da potência:
Essa fórmula vem do fato que, ao derivar
obtém-se
. Aplicando com
:
Passo 4
Agora a integral de
. Esse caso é o exceção à regra da potência (porque
). A fórmula correta é
Explicação curta: a derivada de
é
para
; o valor absoluto aparece para cobrir tanto
quanto
.
Passo 5
Somando as duas integrais e juntando a constante de integração em uma única constante
, obtemos a solução geral:
com
constante arbitrária e domínio
.
Passo 6
Verificação rápida (boa prática na prova): derivando a solução encontrada deve voltar à equação original. Diferenciando
que é exatamente o lado direito da equação dada. Portanto a solução está correta.
Passo 7
Observações finais e dica para a prova: sempre que a EDO tiver a forma
(ou seja, só depende de
), a solução é obtida por integração direta
. Lembre-se do caso especial
e de checar o domínio (aqui
). Vai dar tudo certo — respira e lembra dessas regras na prova!