Resolva as seguintes equações diferenciais fundamentais
\frac{d y}{d x}=x^{2}+\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=x^{2}+\frac{1}{x}
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) (a família de funções que satisfazem essa equação). Observação imediata das informações dadas:
  • A expressão contém \dfrac{1}{x}, portanto a função não está definida em x=0; devemos considerar x\neq 0.
  • Não foi dada condição inicial, então procuraremos a solução geral com constante de integração.

Passo 2

Passo natural: escrever a equação em forma diferencial e integrar ambos os lados. Podemos rearranjar como
d y=\left(x^{2}+\frac{1}{x}\right)\,dx.
Usamos a propriedade linear da integral (regra da soma): a integral de uma soma é a soma das integrais. Logo
\int d y=\int\left(x^{2}+\frac{1}{x}\right)\,dx=\int x^{2}\,dx+\int\frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Agora calculamos cada integral. Primeiro, a integral de x^{2}. Usamos a regra da potência:
\text{Se }n\neq -1,\quad \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Essa fórmula vem do fato que, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtém-se x^{n}. Aplicando com n=2:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Agora a integral de \dfrac{1}{x}. Esse caso é o exceção à regra da potência (porque n=-1). A fórmula correta é
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
Explicação curta: a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x} para x\neq 0; o valor absoluto aparece para cobrir tanto x>0 quanto x<0.

Passo 5

Somando as duas integrais e juntando a constante de integração em uma única constante C, obtemos a solução geral:
y=\frac{x^{3}}{3}+\ln|x|+C,
com C constante arbitrária e domínio x\neq 0.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática na prova): derivando a solução encontrada deve voltar à equação original. Diferenciando
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}+\ln|x|+C\right)=x^{2}+\frac{1}{x},
que é exatamente o lado direito da equação dada. Portanto a solução está correta.

Passo 7

Observações finais e dica para a prova: sempre que a EDO tiver a forma \dfrac{dy}{dx}=f(x) (ou seja, só depende de x), a solução é obtida por integração direta y=\int f(x)\,dx + C. Lembre-se do caso especial \int 1/x\,dx=\ln|x| e de checar o domínio (aqui x\neq 0). Vai dar tudo certo — respira e lembra dessas regras na prova!

Resposta

y=\frac{x^{3}}{3}+\ln|x|+C