Resolva as seguintes equações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os valores de
que satisfazem a equação
Informações dadas:
- A incógnita é
(espera-se um número real). - O lado esquerdo é
. - O lado direito é
, a raiz quadrada de 2.
A pergunta é: qual(is) valor(es) detornam essa igualdade verdadeira?
Passo 2
Regra importante que vamos usar (explicação didática): potências e raízes se relacionam assim:
de forma geral
. Isso significa que a raiz quadrada de
pode ser escrita como uma potência de base
com expoente
. Exemplo concreto:
.
Passo 3
Usando a regra do passo anterior, escrevo o lado direito como potência com base
:
Assim a equação fica
Passo 4
Agora uma propriedade chave: se
e
, a função
é injetora, isto é, se
então
. No nosso caso
e
, portanto dos dois lados iguais segue que os expoentes são iguais:
Passo 5
Método alternativo (útil para outras equações): aplicar logaritmo natural em ambos os lados. Isso demonstra o mesmo resultado e mostra outra técnica que funciona quando não dá para escrever as bases iguais.
Como
, divide-se por
e obtém-se
.
Passo 6
Verificação rápida: substituir
na expressão original:
que é verdade. Portanto a solução está correta.