Resolva as seguintes equações exponenciais:
2^{x}=\sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem a equação
2^{x}=\sqrt{2}.
Informações dadas:
  • A incógnita é x (espera-se um número real).
  • O lado esquerdo é 2^{x}.
  • O lado direito é \sqrt{2}, a raiz quadrada de 2.
    A pergunta é: qual(is) valor(es) de x tornam essa igualdade verdadeira?

Passo 2

Regra importante que vamos usar (explicação didática): potências e raízes se relacionam assim:
\sqrt{a}=a^{1/2},
de forma geral a^{1/n}=\sqrt[n]{a}. Isso significa que a raiz quadrada de 2 pode ser escrita como uma potência de base 2 com expoente 1/2. Exemplo concreto: \sqrt{4}=4^{1/2}=2.

Passo 3

Usando a regra do passo anterior, escrevo o lado direito como potência com base 2:
\sqrt{2}=2^{1/2}.
Assim a equação fica
2^{x}=2^{1/2}.

Passo 4

Agora uma propriedade chave: se a>0 e a\neq1, a função a^{t} é injetora, isto é, se a^{u}=a^{v} então u=v. No nosso caso a=2>0 e a\neq1, portanto dos dois lados iguais segue que os expoentes são iguais:
x=\frac{1}{2}.

Passo 5

Método alternativo (útil para outras equações): aplicar logaritmo natural em ambos os lados. Isso demonstra o mesmo resultado e mostra outra técnica que funciona quando não dá para escrever as bases iguais.
\ln(2^{x})=\ln(\sqrt{2}) \implies x\ln 2 = \tfrac{1}{2}\ln 2.
Como \ln 2\neq0, divide-se por \ln 2 e obtém-se x=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Verificação rápida: substituir x=\tfrac{1}{2} na expressão original:
2^{1/2}=\sqrt{2},
que é verdade. Portanto a solução está correta.

Resposta

x=\dfrac{1}{2}