Resolva as seguintes equações sujeita à condição inicial indicada.
x^{2} \frac{d y}{d x}-2 x y=3 y, y(1)=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial. As informações e o que se pede são:
  • Equação diferencial: x^{2}\frac{dy}{dx}-2xy=3y.
  • Condição inicial: y(1)=\tfrac{1}{2}.
  • Pedido: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 2

Vamos simplificar a equação para uma forma mais direta. A equação dada é
x^{2}\frac{dy}{dx}-2xy=3y.
Somando 2xy em ambos os lados e dividindo por x^{2} (note que isso exige x\neq0), obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{2x+3}{x^{2}}\,y.
Observação sobre domínio: como aparece divisão por x^{2}, a solução só pode ser definida em intervalos onde x\neq0. A condição inicial em x=1 indica que estamos interessados no ramo com x>0.

Passo 3

Explicar o método usado (de forma didática): a equação já está na forma \dfrac{dy}{dx}=g(x)\,y, ou seja, é uma equação diferencial de primeira ordem onde o lado direito é um produto de uma função de x e y. Nessas situações é natural separar as variáveis: colocar todos os termos em y junto de dy e todos os termos em x junto de dx. Assim conseguimos integrar cada lado em relação à sua variável.
Aplicando separação de variáveis:
\frac{1}{y}\,dy=\frac{2x+3}{x^{2}}\,dx.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo temos a integral clássica da forma \int \dfrac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C. Do lado direito, vamos decompor o integrando para integrar facilmente:
\frac{2x+3}{x^{2}}=\frac{2x}{x^{2}}+\frac{3}{x^{2}}=\frac{2}{x}+3x^{-2}.
Logo a integral do lado direito é
\int\left(\frac{2}{x}+3x^{-2}\right)dx =2\int\frac{1}{x}dx+3\int x^{-2}dx.
Calcule cada integral:
2\int\frac{1}{x}dx=2\ln|x|, \qquad 3\int x^{-2}dx=3\cdot\left(-x^{-1}\right)=-\frac{3}{x}.
Portanto, somando,
\int\frac{2x+3}{x^{2}}dx=2\ln|x|-\frac{3}{x}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Igualando as integrais do passo anterior obtém-se
\ln|y|=2\ln|x|-\frac{3}{x}+C.
Agora explico a manipulação para resolver em função de y: exponenciamos ambos os lados (função exponencial é a inversa do logaritmo natural) para eliminar o logaritmo. Ao exponenciar, a constante C vira um fator multiplicativo C_1=e^{C}>0. Assim:
|y|=C_1 x^{2} e^{-3/x}.
Como a condição inicial dará o sinal de y (e x=1>0), podemos desprezar a barra de valor absoluto escolhendo o sinal apropriado. Escrevendo a solução geral sem valor absoluto:
y=C_1 x^{2} e^{-3/x},
com C_1 constante real.

Passo 6

Usar a condição inicial y(1)=\tfrac{1}{2} para determinar C_1. Substituindo x=1 e y=\tfrac{1}{2} na expressão geral:
\frac{1}{2}=C_1\cdot 1^{2}\cdot e^{-3/1}=C_1 e^{-3}.
Isolando C_1:
C_1=\frac{1}{2}e^{3}=\frac{e^{3}}{2}.

Passo 7

Substituindo C_1 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{e^{3}}{2}\,x^{2}e^{-3/x}.
Podemos reescrever de forma um pouco mais compacta:
y(x)=\frac{1}{2}x^{2}e^{3-3/x}=\frac{1}{2}x^{2}e^{3\left(1-\frac{1}{x}\right)}.
Lembrando o domínio: a solução é válida para x\neq0; a condição inicial x=1 seleciona o ramo com x>0.

Resposta

y(x)=\frac{e^{3}}{2}\,x^{2}e^{-3/x}