Resolva as seguintes equações sujeita à condição inicial indicada.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial. As informações e o que se pede são:
- Equação diferencial:
- Condição inicial:
- Pedido: encontrar a solução
que satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 2
Vamos simplificar a equação para uma forma mais direta. A equação dada é
Somando
em ambos os lados e dividindo por
(note que isso exige
), obtemos
Observação sobre domínio: como aparece divisão por
, a solução só pode ser definida em intervalos onde
. A condição inicial em
indica que estamos interessados no ramo com
.
Passo 3
Explicar o método usado (de forma didática): a equação já está na forma
, ou seja, é uma equação diferencial de primeira ordem onde o lado direito é um produto de uma função de
e
. Nessas situações é natural separar as variáveis: colocar todos os termos em
junto de
e todos os termos em
junto de
. Assim conseguimos integrar cada lado em relação à sua variável.
Aplicando separação de variáveis:
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo temos a integral clássica da forma
. Do lado direito, vamos decompor o integrando para integrar facilmente:
Logo a integral do lado direito é
Calcule cada integral:
Portanto, somando,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Igualando as integrais do passo anterior obtém-se
Agora explico a manipulação para resolver em função de
: exponenciamos ambos os lados (função exponencial é a inversa do logaritmo natural) para eliminar o logaritmo. Ao exponenciar, a constante
vira um fator multiplicativo
. Assim:
Como a condição inicial dará o sinal de
(e
), podemos desprezar a barra de valor absoluto escolhendo o sinal apropriado. Escrevendo a solução geral sem valor absoluto:
com
constante real.
Passo 6
Usar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na expressão geral:
Isolando
:
Passo 7
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Podemos reescrever de forma um pouco mais compacta:
Lembrando o domínio: a solução é válida para
; a condição inicial
seleciona o ramo com
.