Resolva as seguintes equações:
2^{2 x+1}-3.2^{x+2}=32.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
2^{2x+1} - 3 \cdot 2^{x+2} = 32.
O conteúdo envolvido são propriedades de potências e redução a uma equação polinomial via substituição.

Passo 2

Reescrevemos cada termo em função de 2^x:
2^{2x+1} = 2\cdot2^{2x} = 2\bigl(2^x\bigr)^2,
3\cdot2^{x+2} = 3\cdot4\cdot2^x = 12\cdot2^x.
Faça a substituição \;t = 2^x, com t>0. A equação vira
2\,t^2 \;-\; 12\,t \;=\; 32.

Passo 3

Colocando tudo em um lado e simplificando por 2:
2\,t^2 -12\,t -32 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^2 -6\,t -16 = 0.
Aplicamos a fórmula de Bhaskara:
t = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 -4\cdot1\cdot(-16)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 +64}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2}.
Logo,
t = 8 \quad\text{ou}\quad t = -2.

Passo 4

Como t = 2^x > 0, descartamos t=-2. Ficamos com
2^x = 8 = 2^3 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.

Resposta

x = 3

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