Resolva as seguintes inequações e escreva a solução com a notação de intervalo \left|x^{2}-5 x\right| \geq 6
Passo 1
O enunciado pede: resolver a inequação \left|x^{2}-5 x\right| \geq 6 e expressar a solução em notação de intervalo.
Informações dadas:
A expressão dentro do valor absoluto é x^{2}-5x.
A desigualdade é do tipo \left|\,\cdot\,\right|\geq 6, ou seja, compara o valor absoluto com o número 6.
Procurar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Conceito útil (explicação didática sobre valor absoluto): para qualquer expressão A e número b\geq 0 vale a equivalência
\left|A\right|\geq b \quad\Longleftrightarrow\quad A\geq b \quad\text{ou}\quad A\leq -b.
Isto ocorre porque \left|A\right| mede a distância de A até 0; se essa distância é pelo menos b, então A está à direita de b (ou igual) ou à esquerda de -b (ou igual). Aqui A=x^{2}-5x e b=6, portanto vamos resolver as duas inequações equivalentes:
Resolver a primeira inequação x^{2}-5x \geq 6. Primeiro trazemos tudo para um lado:
x^{2}-5x-6 \geq 0.
Agora fatoramos o polinômio quadrático. Procuramos dois números cujo produto é -6 e cuja soma é -5; esses números são -6 e 1. Assim:
x^{2}-5x-6 = (x-6)(x+1).
As raízes (zeros) são x=6 e x=-1. Como o coeficiente de x^{2} é positivo (parábola voltada para cima), o produto (x-6)(x+1) é:
positivo (≥0) para x\leq -1 e para x\geq 6,
negativo entre -1 e 6.
Portanto a solução dessa parte é
(-\infty,-1]\\ \cup\\ [6,\infty).
Passo 4
Resolver a segunda inequação x^{2}-5x \leq -6. Novamente trazemos tudo para um lado:
x^{2}-5x+6 \leq 0.
Fatoramos: precisamos de dois números com produto 6 e soma -5; são -2 e -3. Logo
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3).
As raízes são x=2 e x=3. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, o produto (x-2)(x-3) é:
negativo (≤0) entre 2 e 3,
positivo fora desse intervalo.
Portanto a solução dessa parte é
[2,3].
Observação rápida: os extremos x=2 e x=3 fazem x^{2}-5x=-6, e a desigualdade original admite igualdade, então esses pontos devem ser incluídos.
Passo 5
Unir as soluções das duas partes (lembre: a desigualdade com valor absoluto pede a união das soluções de A\geq 6 e A\leq -6). Assim a solução total é a união dos intervalos obtidos:
(-\infty,-1]\\ \cup\\ [2,3]\\ \cup\\ [6,\infty).
Passo 6
Checagem rápida com exemplos numéricos (para ter confiança):
Tome x=-2 (está em (-\infty,-1]). Calcula-se x^{2}-5x=4+10=14, |14|=14\geq6 OK.
Tome x=2,5 (entre 2 e 3). Calcula-se x^{2}-5x=6,25-12,5=-6,25, |-6,25|=6,25\geq6 OK.
Tome x=4 (entre -1 e 2 ou entre 3 e 6). Calcula-se x^{2}-5x=16-20=-4, |-4|=4<6 não satisfaz, então esses pontos não devem estar na solução — consistente com os intervalos acima.