Resolva as seguintes inequações, escrevendo as soluções na forma de intervalo da reta.
\frac{u}{3}-3 u \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação e dar a solução em forma de intervalo da reta. A inequação é:
\frac{u}{3}-3u \geq 0
Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é u, que pertence aos números reais.
  • É uma inequação linear em u.
  • O objetivo final é escrever o conjunto solução como um intervalo da reta.

Passo 2

Primeiro, vou manipular a expressão do lado esquerdo para deixá-la mais simples. Para isso coloco os termos sobre um mesmo denominador ou fatoro u. Escrita original:
\frac{u}{3}-3u \geq 0.
Posso escrever -3u como \frac{-9u}{3} para ter denominador comum 3. Então:
\frac{u}{3}-3u = \frac{u}{3} + \frac{-9u}{3} = \frac{u-9u}{3}.

Passo 3

Calculo a subtração no numerador:
u-9u = -8u.
Portanto a expressão fica:
\frac{-8u}{3} \geq 0.

Passo 4

Agora resolvo a inequação \frac{-8u}{3} \geq 0. Observações úteis:
  • O denominador 3 é positivo, então multiplicar ambos os lados por 3 não muda o sentido da desigualdade.
    Multiplicando por 3:
-8u \geq 0.
  • Para isolar u divido ambos os lados por -8. Como -8 é um número negativo, a desigualdade inverte de sentido ao dividir por ele. Essa é uma regra fundamental: ao multiplicar ou dividir por um número negativo, troca-se \ge por \le (ou > por <, etc.).
Dividindo por -8 e invertendo o sinal:
u \leq 0.

Passo 5

Interpretação: a solução é o conjunto de todos os números reais u menores ou iguais a 0. Em notação de intervalo da reta isso é:
(-\infty,\,0].
Explicação intuitiva rápida: como a expressão original equivalia a um múltiplo negativo de u (isto é, -\frac{8}{3}u), para que esse múltiplo seja não negativo ( \ge 0) precisamos que u seja não positivo ( \le 0).

Resposta

(-\infty,\,0]