Resolva as seguintes inequações, escrevendo as soluções na forma de intervalo da reta.
Passo 1
O problema pede para resolver a inequação
e escrever as soluções na forma de intervalo da reta. As informações relevantes que o enunciado dá são:
- A expressão a comparar com zero é
. - Devemos encontrar todos os
que satisfazem essa desigualdade e escrever o conjunto solução em intervalos.
Passo 2
Primeiro é importante identificar pontos que tornam a expressão zero ou indefinida — esses pontos dividem a reta em intervalos onde o sinal da expressão é constante.
- Zeros do numerador ocorrem quando
ou . Ou seja: - Zeros do denominador ocorrem quando
. Ou seja:
Portanto os pontos críticos são
,
e
. A expressão é indefinida em
(não pode ser solução). Esses pontos particionam a reta em quatro intervalos:
,
,
e
.
Passo 3
Explico a técnica que vou usar: para resolver uma inequação racional do tipo produto/razão, analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo e combinamos esses sinais. Aqui os fatores são
,
e
. Cada fator muda de sinal ao passar pelo seu zero (respectivamente em
,
e
). Quando tivermos o sinal de cada fator no intervalo, multiplicamos esses sinais; se o resultado for negativo ou zero (lembrando das exclusões), a desigualdade é satisfeita.
Passo 4
Agora faço um teste de sinal em cada intervalo escolhendo um ponto simples em cada um e calculando o sinal de cada fator e da expressão.
Intervalo
. Escolho
.
-
. -
. -
.
Produto/razão dos sinais: numerador, denominador , então . Logo a expressão é positiva em . Não satisfaz .
Intervalo
. Escolho
.
-
. -
. -
.
Numerador, denom , então . A expressão é negativa em . Satisfaz .
Intervalo
. Escolho
.
-
. -
. -
.
Numerador, denom , então resultado . A expressão é positiva em . Não satisfaz .
Intervalo
. Escolho
.
-
. -
. -
.
Numerador, denom , logo resultado . A expressão é negativa em . Satisfaz .
Passo 5
Agora trato os pontos críticos:
-
e são zeros do numerador e deixam a expressão igual a zero (e o denominador nesses pontos não é zero), então ambos podem ser incluídos na solução porque a desigualdade permite igualdade ( ). -
anula o denominador, tornando a expressão indefinida; portanto não pertence à solução.
Juntando os intervalos onde a expressão é negativa e incluindo os zeros permitidos, obtemos a solução: