Resolva as seguintes inequações, escrevendo as soluções na forma de intervalo da reta.
\frac{-x+5}{2 x-6}(x+1) \leq 0

Passo 1

O problema pede para resolver a inequação
\frac{-x+5}{2 x-6}(x+1) \leq 0
e escrever as soluções na forma de intervalo da reta. As informações relevantes que o enunciado dá são:
  • A expressão a comparar com zero é \dfrac{-x+5}{2x-6}(x+1).
  • Devemos encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade e escrever o conjunto solução em intervalos.

Passo 2

Primeiro é importante identificar pontos que tornam a expressão zero ou indefinida — esses pontos dividem a reta em intervalos onde o sinal da expressão é constante.
  • Zeros do numerador ocorrem quando -x+5=0 ou x+1=0. Ou seja: -x+5=0 \Rightarrow x=5,\qquad x+1=0 \Rightarrow x=-1.
  • Zeros do denominador ocorrem quando 2x-6=0. Ou seja: 2x-6=0 \Rightarrow x=3.
Portanto os pontos críticos são -1, 3 e 5. A expressão é indefinida em x=3 (não pode ser solução). Esses pontos particionam a reta em quatro intervalos: (-\infty,-1), (-1,3), (3,5) e (5,\infty).

Passo 3

Explico a técnica que vou usar: para resolver uma inequação racional do tipo produto/razão, analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo e combinamos esses sinais. Aqui os fatores são -x+5, x+1 e 2x-6. Cada fator muda de sinal ao passar pelo seu zero (respectivamente em x=5, x=-1 e x=3). Quando tivermos o sinal de cada fator no intervalo, multiplicamos esses sinais; se o resultado for negativo ou zero (lembrando das exclusões), a desigualdade é satisfeita.

Passo 4

Agora faço um teste de sinal em cada intervalo escolhendo um ponto simples em cada um e calculando o sinal de cada fator e da expressão.
Intervalo (-\infty,-1). Escolho x=-2.
  • -x+5 = -(-2)+5 = 2+5 = 7 >0.
  • x+1 = -2+1 = -1 <0.
  • 2x-6 = 2(-2)-6 = -4-6 = -10 <0.
    Produto/razão dos sinais: numerador (+)\cdot(-)=(-), denominador (-), então (-)/(-)=(+). Logo a expressão é positiva em (-\infty,-1). Não satisfaz \leq0.
Intervalo (-1,3). Escolho x=0.
  • -x+5 = -0+5 = 5 >0.
  • x+1 = 0+1 = 1 >0.
  • 2x-6 = -6 <0.
    Numerador (+)\cdot(+)=+, denom (-), então +/(-)=(-). A expressão é negativa em (-1,3). Satisfaz \leq0.
Intervalo (3,5). Escolho x=4.
  • -x+5 = -4+5 = 1 >0.
  • x+1 = 4+1 = 5 >0.
  • 2x-6 = 8-6 = 2 >0.
    Numerador +, denom +, então resultado +. A expressão é positiva em (3,5). Não satisfaz \leq0.
Intervalo (5,\infty). Escolho x=6.
  • -x+5 = -6+5 = -1 <0.
  • x+1 = 6+1 = 7 >0.
  • 2x-6 = 12-6 = 6 >0.
    Numerador (-)\cdot(+)=(-), denom +, logo resultado (-). A expressão é negativa em (5,\infty). Satisfaz \leq0.

Passo 5

Agora trato os pontos críticos:
  • x=-1 e x=5 são zeros do numerador e deixam a expressão igual a zero (e o denominador nesses pontos não é zero), então ambos podem ser incluídos na solução porque a desigualdade permite igualdade ( \leq 0).
  • x=3 anula o denominador, tornando a expressão indefinida; portanto x=3 não pertence à solução.
Juntando os intervalos onde a expressão é negativa e incluindo os zeros permitidos, obtemos a solução:
[-1,3)\cup[5,\infty).

Resposta

[ -1,\,3 ) \cup [ 5,\,\infty )