Resolva as seguintes inequações, escrevendo as soluções na forma de intervalo da reta.
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação
e escrever a solução em forma de intervalo da reta. Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão envolve uma fração racional
. - A inequação é do tipo “menor ou igual” (
), portanto admite pontos onde a expressão se anula. - A expressão não está definida quando o denominador é zero, ou seja quando
, isto é em . Esse ponto deve ser excluído da solução.
Passo 2
Transformar a inequação para uma única fração igualada a zero (método seguro para inequações racionais): subtrai-se
de ambos os lados e junta-se em um único quociente:
Colocando na mesma fração:
Passo 3
Calcular o numerador resultante e simplificar:
Portanto a inequação passa a ser
Passo 4
Identificar os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador):
- Numerador
quando . Nesse ponto a fração vale . - Denominador
quando . Nesse ponto a expressão não está definida (não pode ser incluído na solução).
Esses dois pontos dividem a reta real em três intervalos:
,
e
. Vamos estudar o sinal da fração em cada um.
Passo 5
Determinar o sinal da fração
em cada intervalo. Observação:
.
- Para
(por exemplo ): e . Logo a fração é negativa. - Para
(por exemplo ): e . Logo a fração é positiva. - Para
(por exemplo ): e . Logo a fração é negativa.
Como queremos
, aceitamos os intervalos onde a fração é negativa e também o ponto onde ela é zero (mas não o ponto onde é indefinida).
Passo 6
Concluir quais intervalos satisfazem a inequação:
- A fração é negativa em
, e em ela vale , então o intervalo aceitável é . - A fração é positiva em
, portanto esses pontos não entram. - A fração é negativa em
, e é proibido (denominador zero), então aceitamos .
Unindo as partes permitidas obtemos a solução final em forma de união de intervalos.