Resolva as seguintes inequações, escrevendo as soluções na forma de intervalo da reta.
\frac{2 x+6}{1-3 x} \leq 7

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
\frac{2x+6}{1-3x} \leq 7
e escrever a solução em forma de intervalo da reta. Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão envolve uma fração racional \dfrac{2x+6}{1-3x}.
  • A inequação é do tipo “menor ou igual” ( \leq), portanto admite pontos onde a expressão se anula.
  • A expressão não está definida quando o denominador é zero, ou seja quando 1-3x=0, isto é em x=\dfrac{1}{3}. Esse ponto deve ser excluído da solução.

Passo 2

Transformar a inequação para uma única fração igualada a zero (método seguro para inequações racionais): subtrai-se 7 de ambos os lados e junta-se em um único quociente:
\frac{2x+6}{1-3x}-7 \leq 0.
Colocando na mesma fração:
\frac{2x+6-7(1-3x)}{1-3x} \leq 0.

Passo 3

Calcular o numerador resultante e simplificar:
2x+6-7(1-3x)=2x+6-7+21x=23x-1.
Portanto a inequação passa a ser
\frac{23x-1}{1-3x} \leq 0.

Passo 4

Identificar os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador):
  • Numerador 23x-1=0 quando x=\dfrac{1}{23}. Nesse ponto a fração vale 0.
  • Denominador 1-3x=0 quando x=\dfrac{1}{3}. Nesse ponto a expressão não está definida (não pode ser incluído na solução).
Esses dois pontos dividem a reta real em três intervalos: (-\infty,\tfrac{1}{23}), (\tfrac{1}{23},\tfrac{1}{3}) e (\tfrac{1}{3},\infty). Vamos estudar o sinal da fração em cada um.

Passo 5

Determinar o sinal da fração \dfrac{23x-1}{1-3x} em cada intervalo. Observação: \dfrac{1}{23}<\dfrac{1}{3}.
  • Para x<\dfrac{1}{23} (por exemplo x=0): 23x-1<0 e 1-3x>0. Logo a fração é negativa.
  • Para \dfrac{1}{23}<x<\dfrac{1}{3} (por exemplo x=0,1): 23x-1>0 e 1-3x>0. Logo a fração é positiva.
  • Para x>\dfrac{1}{3} (por exemplo x=1): 23x-1>0 e 1-3x<0. Logo a fração é negativa.
Como queremos \dfrac{23x-1}{1-3x}\leq0, aceitamos os intervalos onde a fração é negativa e também o ponto onde ela é zero (mas não o ponto onde é indefinida).

Passo 6

Concluir quais intervalos satisfazem a inequação:
  • A fração é negativa em (-\infty,\tfrac{1}{23}), e em x=\tfrac{1}{23} ela vale 0, então o intervalo aceitável é (-\infty,\tfrac{1}{23}].
  • A fração é positiva em (\tfrac{1}{23},\tfrac{1}{3}), portanto esses pontos não entram.
  • A fração é negativa em (\tfrac{1}{3},\infty), e x=\tfrac{1}{3} é proibido (denominador zero), então aceitamos (\tfrac{1}{3},\infty).
Unindo as partes permitidas obtemos a solução final em forma de união de intervalos.

Resposta

\left(-\infty,\dfrac{1}{23}\right] \cup \left(\dfrac{1}{3},\infty\right)