Resolva as seguintes inequações modulares:
(j) |4 + 1/x| < 6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a inequação |4 + 1/x| < 6. A matéria aqui é sobre inequações modulares, que envolvem valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as propriedades do valor absoluto e entender como resolver desigualdades envolvendo frações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma expressão do tipo , isso significa que A está entre e B. Então, aplicando isso à nossa inequação:

Passo 3

Agora, vamos isolar 1/x. Para isso, subtraímos 4 de todas as partes da desigualdade:
Simplificando:

Passo 4

Aqui, precisamos resolver para x, mas atenção: como x está no denominador, precisamos considerar dois casos distintos: quando x é positivo e quando x é negativo. Isso porque a desigualdade muda de direção dependendo do sinal de x.
Caso 1:
Multiplicamos todas as partes da desigualdade por x (positivo, então a direção das desigualdades permanece):
Dividindo as duas partes:
Como já satisfaz , a solução nesse caso é .
Caso 2:
Multiplicamos todas as partes da desigualdade por x (negativo, então a direção das desigualdades inverte):
Dividindo as duas partes:
Como já satisfaz , a solução nesse caso é .

Resposta

Portanto, a solução da inequação |4 + 1/x| < 6 é:

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