Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
\int \mathrm{e}^{(2 \mathrm{x})} \mathrm{dx}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral
\int e^{2x}\,dx,
usando mudança de variável. Devemos apresentar a primitiva explicitamente e depois confirmar que, ao derivá-la, obtemos exatamente a função integranda e^{2x}. Não há outros dados.

Passo 2

Escolha da mudança de variável e por que funciona: quando a exponencial tem uma função linear no expoente, uma boa mudança é isolar esse expoente. Faço a substituição
u = 2x.
Agora relaciono os diferenciais: derivando ambos os lados em relação a x,
\frac{du}{dx}=2 \quad\Rightarrow\quad du=2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{2}.
A ideia é trocar a variável x por u para tornar a integral mais simples.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral: troco 2x por u e dx por \dfrac{du}{2}:
\int e^{2x}\,dx = \int e^{u}\,\frac{du}{2}.
Posso tirar a constante \dfrac{1}{2} para fora da integral:
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{u}\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u e voltar para x: a primitiva de e^{u} em relação a u é e^{u}. Assim
\frac{1}{2}\int e^{u}\,du = \frac{1}{2}e^{u}+C.
Voltando à variável x usando u=2x,
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Confirmação derivando a primitiva (checagem final): derivamos \dfrac{1}{2}e^{2x}+C em relação a x. Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}e^{2x}+C\right) = \frac{1}{2}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr) = \frac{1}{2}\cdot\bigl(2e^{2x}\bigr) = e^{2x}.
A derivada é exatamente a função integranda, então a primitiva está correta.

Passo 6

Regra geral e exemplo adicional rápido: de maneira geral, para a\neq 0 vale
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}e^{a x}+C.
Exemplo: \displaystyle \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}+C.

Resposta

\dfrac{1}{2}e^{2x}+C