Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral
usando mudança de variável. Devemos apresentar a primitiva explicitamente e depois confirmar que, ao derivá-la, obtemos exatamente a função integranda
. Não há outros dados.
Passo 2
Escolha da mudança de variável e por que funciona: quando a exponencial tem uma função linear no expoente, uma boa mudança é isolar esse expoente. Faço a substituição
Agora relaciono os diferenciais: derivando ambos os lados em relação a
,
A ideia é trocar a variável
por
para tornar a integral mais simples.
Passo 3
Aplicando a substituição na integral: troco
por
e
por
:
Posso tirar a constante
para fora da integral:
Passo 4
Calcular a integral em
e voltar para
: a primitiva de
em relação a
é
. Assim
Voltando à variável
usando
,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Confirmação derivando a primitiva (checagem final): derivamos
em relação a
. Usando a regra da cadeia,
A derivada é exatamente a função integranda, então a primitiva está correta.
Passo 6
Regra geral e exemplo adicional rápido: de maneira geral, para
vale
Exemplo:
.