Resolva aos seguintes problemas:
Se z=x^{2}+6 y^{2} e (x, y) varia de (2,1) a (2,05 ; 1,1), compare os valores de \Delta z e d z.

Passo 1

O enunciado dá a função \,z=x^{2}+6y^{2}\, e diz que o par (x,y) varia do ponto inicial (2,1) para o ponto final (2{,}05,\,1{,}1). Pede para comparar o valor real da variação \Delta z com a diferencial linear \mathrm{d}z.
Informações relevantes:
  • Função: \,z(x,y)=x^{2}+6y^{2}.
  • Ponto inicial: \,(x_{0},y_{0})=(2,1).
  • Ponto final: \,(x_{1},y_{1})=(2{,}05,\,1{,}1).
  • Definições a usar:
    • \displaystyle \Delta z = z(x_{1},y_{1})-z(x_{0},y_{0}) (variação real).
    • \displaystyle \mathrm{d}z = f_{x}(x_{0},y_{0})\,\mathrm{d}x + f_{y}(x_{0},y_{0})\,\mathrm{d}y (diferencial linear), onde \mathrm{d}x=x_{1}-x_{0} e \mathrm{d}y=y_{1}-y_{0}.

Passo 2

Calcular \Delta z diretamente (passo a passo):
  1. Calcular z no ponto inicial: z(2,1)=2^{2}+6\cdot1^{2}=4+6=10.
  2. Calcular z no ponto final (aproximação numérica exata com decimais): x_{1}^{2}=(2{,}05)^{2}=4{,}2025, \qquad y_{1}^{2}=(1{,}1)^{2}=1{,}21.
z(2{,}05,\,1{,}1)=4{,}2025+6\cdot1{,}21=4{,}2025+7{,}26=11{,}4625.
  1. Então \Delta z = z(2{,}05,\,1{,}1)-z(2,1)=11{,}4625-10=1{,}4625.

Passo 3

Agora vamos calcular a diferencial \mathrm{d}z. Primeiro entenda o conceito (explicação didática):
  • A diferencial \mathrm{d}z é a aproximação linear da variação de z quando (x,y) muda pouco. Ela usa as derivadas parciais no ponto inicial para estimar quanto z muda por unidade de x e por unidade de y.
  • As derivadas parciais são definidas assim: f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+6y^{2})=2x, \qquad f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+6y^{2})=12y.Aqui f_{x} é a taxa de variação de z quando só x varia, e f_{y} é a taxa de variação de z quando só y varia.
Calcule em (x_{0},y_{0})=(2,1):
f_{x}(2,1)=2\cdot2=4, \qquad f_{y}(2,1)=12\cdot1=12.
As variações nos argumentos são
\mathrm{d}x=x_{1}-x_{0}=2{,}05-2=0{,}05, \qquad \mathrm{d}y=y_{1}-y_{0}=1{,}1-1=0{,}1.
Agora a fórmula da diferencial:
\mathrm{d}z = f_{x}(2,1)\,\mathrm{d}x + f_{y}(2,1)\,\mathrm{d}y = 4\cdot0{,}05 + 12\cdot0{,}1.
Faça as contas:
4\cdot0{,}05=0{,}2,\qquad 12\cdot0{,}1=1{,}2,
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\mathrm{d}z=0{,}2+1{,}2=1{,}4.

Passo 4

Comparação numérica e interpretação:
  • Encontramos \displaystyle \Delta z = 1{,}4625.
  • Encontramos \displaystyle \mathrm{d}z = 1{,}4.
Diferença (erro da aproximação linear):
\Delta z - \mathrm{d}z = 1{,}4625-1{,}4=0{,}0625.
Portanto \mathrm{d}z subestima \Delta z em 0{,}0625, ou cerca de \dfrac{0{,}0625}{1{,}4625}\approx0{,}0427 (aprox. 4{,}27\%).

Passo 5

Explicação por que há essa diferença (fórmula dos termos de ordem superior, aplicada ao caso):
  • Para funções suaves, \Delta z admite expansão em série de Taylor em torno de (x_{0},y_{0}): \Delta z = \mathrm{d}z + \frac{1}{2}\big(f_{xx}(x_{0},y_{0})(\mathrm{d}x)^{2} + 2f_{xy}(x_{0},y_{0})\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y + f_{yy}(x_{0},y_{0})(\mathrm{d}y)^{2}\big) + \text{termos de ordem maior}.
  • No nosso caso f(x,y)=x^{2}+6y^{2} é uma função quadrática (não há termos de ordem maior que 2), então essa fórmula é exata e não há termos remanescentes. As segundas derivadas são f_{xx}=2,\quad f_{xy}=0,\quad f_{yy}=12.
  • Substituindo: \Delta z - \mathrm{d}z = \frac{1}{2}\big(2(\mathrm{d}x)^{2}+12(\mathrm{d}y)^{2}\big) = (\mathrm{d}x)^{2}+6(\mathrm{d}y)^{2}.Calcule os quadrados: (\mathrm{d}x)^{2}=(0{,}05)^{2}=0{,}0025,\qquad (\mathrm{d}y)^{2}=(0{,}1)^{2}=0{,}01.
\Delta z - \mathrm{d}z = 0{,}0025 + 6\cdot0{,}01 = 0{,}0025+0{,}06=0{,}0625,
o que confirma o valor obtido numericamente. Como os termos de segunda ordem são positivos aqui, a aproximação linear subestima a variação exata.

Resposta

\Delta z = 1{,}4625
\mathrm{d}z = 1{,}4
\Delta z - \mathrm{d}z = 0{,}0625 (logo \mathrm{d}z subestima \Delta z por 0{,}0625).