Resolva aos seguintes problemas:
Se
e
varia de
a
, compare os valores de
e
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a função
e diz que o par
varia do ponto inicial
para o ponto final
. Pede para comparar o valor real da variação
com a diferencial linear
.
Informações relevantes:
- Função:
. - Ponto inicial:
. - Ponto final:
. - Definições a usar:
-
(variação real). -
(diferencial linear), onde e .
-
Passo 2
Calcular
diretamente (passo a passo):
- Calcular
no ponto inicial: - Calcular
no ponto final (aproximação numérica exata com decimais):
- Então
Passo 3
Agora vamos calcular a diferencial
. Primeiro entenda o conceito (explicação didática):
- A diferencial
é a aproximação linear da variação de quando muda pouco. Ela usa as derivadas parciais no ponto inicial para estimar quanto muda por unidade de e por unidade de . - As derivadas parciais são definidas assim:
Aqui é a taxa de variação de quando só varia, e é a taxa de variação de quando só varia.
Calcule em
:
As variações nos argumentos são
Agora a fórmula da diferencial:
Faça as contas:
logo
Passo 4
Comparação numérica e interpretação:
- Encontramos
. - Encontramos
.
Diferença (erro da aproximação linear):
Portanto
subestima
em
, ou cerca de
(aprox.
).
Passo 5
Explicação por que há essa diferença (fórmula dos termos de ordem superior, aplicada ao caso):
- Para funções suaves,
admite expansão em série de Taylor em torno de : - No nosso caso
é uma função quadrática (não há termos de ordem maior que 2), então essa fórmula é exata e não há termos remanescentes. As segundas derivadas são - Substituindo:
Calcule os quadrados:
o que confirma o valor obtido numericamente. Como os termos de segunda ordem são positivos aqui, a aproximação linear subestima a variação exata.