Resolva os seguintes problemas de valor inicial. (x ln x) dy = y dx, y(3) = 4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente tem uma equação diferencial dada por e uma condição inicial . Isso significa que quando x é 3, y vale 4. Vamos resolver essa equação usando separação de variáveis, que é uma técnica para equações onde conseguimos colocar todas as y de um lado e todas as x do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis y e x. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por y e por x ln x:
Agora, temos uma expressão onde todos os termos com y estão de um lado e os termos com x estão do outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação para encontrar a solução geral. Começando pelo lado esquerdo:
Aqui, usamos a integral básica de que resulta no logaritmo natural de y.

Passo 4

Vamos agora integrar o lado direito:
Para resolver essa integral, usamos uma substituição. Seja , então . A integral fica:

Passo 5

Igualando as integrais dos dois lados, temos:
Aqui, é uma constante que podemos simplificar.

Passo 6

Para resolver para y, vamos “esquentar” os dois lados exponenciando:
Onde é uma nova constante.

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de D:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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