Resolva os seguintes Problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0 \quad y(0)=-2, y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a solução do problema de valor inicial dado por
y''+3y'=0,
com as condições iniciais
y(0)=-2,\quad y'(0)=3.
As informações relevantes são: a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e as duas condições em x=0. O objetivo é obter y(x) que satisfaça a equação e as duas condições.

Passo 2

Vamos escolher um método apropriado: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito eficiente usar a equação característica. Intuitivamente, procuramos soluções da forma y(x)=e^{rx} porque exponenciais tornam derivadas proporcionais à própria função, o que simplifica a equação. Essa é a técnica padrão e rápida para este tipo de problema.

Passo 3

Construímos a equação característica substituindo y(x)=e^{rx} em y''+3y'=0. Isso dá
r^2+3r=0.
Agora resolvemos a equação algébrica. Podemos fatorar:
r(r+3)=0,
logo as raízes são
r_1=0,\quad r_2=-3.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes. Portanto
y(x)=C_1 e^{0\cdot x}+C_2 e^{-3x}=C_1 + C_2 e^{-3x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais. Observação didática: a raiz r=0 corresponde a uma solução constante e^{0x}=1.

Passo 5

Calculamos a derivada primeira de y(x) para aplicar a condição y'(0)=3. Diferenciando
y(x)=C_1 + C_2 e^{-3x}
temos
y'(x)=0 + C_2\cdot(-3)e^{-3x}=-3C_2 e^{-3x}.

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais para obter C_1 e C_2.
Usando y(0)=-2:
y(0)=C_1 + C_2 e^{0}=C_1 + C_2 = -2. \tag{1}
Usando y'(0)=3:
y'(0)=-3C_2 e^{0}=-3C_2 = 3 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -1. \tag{2}
Substituindo C_2=-1 em (1):
C_1 + (-1) = -2 \quad\Rightarrow\quad C_1 = -1.

Passo 7

Com C_1=-1 e C_2=-1 obtemos a solução particular do problema:
y(x) = -1 - e^{-3x}.
Verificação rápida: calculando y'(x)=-3(-1)e^{-3x}= -3(-1)e^{-3x} (conforme passo 5 com C_2=-1) e y''(x)=9(-1)e^{-3x}, temos
y''+3y'' = 9(-1)e^{-3x}+3(-3(-1)e^{-3x})=0,
ou seja, satisfaz a equação, e y(0)=-1-1=-2,\; y'(0)= -3(-1)=3, logo as condições iniciais também são satisfeitas. Dica para a prova: sempre verifique rapidamente as condições iniciais e que a equação é satisfeita.

Resposta

y(x)=-1-e^{-3x}

Exercícios relacionados