1. Resolva os seguintes sistemas.
d) \left\{\begin{array}{c}2 x-y=13 \\\ x+y=17\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo, ou seja, encontrar os valores de x\) e \(y\) que satisfazem simultaneamente as duas equações: \[\begin{cases} 2x - y = 13,\\\ x + y = 17. \end{cases}
Informações dadas:
  • São duas equações lineares em duas incógnitas ( x\] e \(y).
  • Os coeficientes e termos independentes são os mostrados acima.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o método da eliminação (também chamado de combinação linear). Motivo: os sinais de y nas duas equações são opostos ( -y e +y), então basta somar as equações para eliminar y imediatamente — é o caminho mais direto aqui.

Passo 3

Breve explicação do método da eliminação (didática):
  • A ideia é combinar as equações (somando, subtraindo ou multiplicando antes de somar) de modo que uma das incógnitas desapareça, restando uma equação com uma única incógnita.
  • Depois de encontrar o valor dessa incógnita, substitui-se em uma das equações originais para achar a outra.
  • Isso funciona porque qualquer combinação linear verdadeira de equações verdadeiras gera outra equação verdadeira; assim a solução do sistema permanece a mesma.

Passo 4

Aplicando eliminação ao sistema dado. Escrevo as duas equações novamente para manipular:
\text{(1)}\quad 2x - y = 13,
\text{(2)}\quad x + y = 17.
Como -y e +y são opostos, somo (1) e (2) membro a membro para eliminar y:
(2x - y) + (x + y) = 13 + 17.

Passo 5

Realizo as somas termo a termo no passo anterior:
2x - y + x + y = 13 + 17.
Os termos em y cancelam: -y + y = 0. Assim sobra
3x = 30.

Passo 6

Resolvo para x. Divido ambos os lados por 3:
x = \frac{30}{3} = 10.

Passo 7

Agora encontro y substituindo x=10 em uma das equações originais. Uso a equação (2):
x + y = 17.
Substituindo x=10:
10 + y = 17.
Subtraio 10 dos dois lados:
y = 17 - 10 = 7.

Passo 8

Verificação (sempre bom checar): substituo (x,y)=(10,7) nas duas equações originais.
Cheque na equação (1):
2x - y = 2\cdot 10 - 7 = 20 - 7 = 13,
que confere com o termo independente 13.
Cheque na equação (2):
x + y = 10 + 7 = 17,
que confere com 17.
Portanto a solução está correta.

Resposta

x=10
y=7