Resolva os seguintes sistemas:
S_{2}=\left\{\begin{array}{c}2 x-3 y+z=2 \\\\ 3 x+2 z=0 \\\\ 5 y-2 w=-5 \\\ y-z+w=-4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear com quatro incógnitas x,y,z,w\): \[S_{2} = \begin{cases} 2x - 3y + z = 2,\\\\ 3x + 2z = 0,\\\\ 5y - 2w = -5,\\\ y - z + w = -4. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistema linear pelo método da eliminação: vamos primeiro usar as duas primeiras equações para relacionar x\] e \(z em função de y, depois usar as duas últimas para relacionar z e w em função de y, e por fim igualar as expressões de z para determinar y.

Passo 2

Das equações
3x + 2z = 0 \quad\text{e}\quad 2x - 3y + z = 2,
isolamos x na primeira:
3x + 2z = 0 \implies x = -\frac{2}{3}z.
Substituindo em 2x - 3y + z = 2:
2\Bigl(-\tfrac{2}{3}z\Bigr) - 3y + z = 2 \;\Longrightarrow\; -\frac{4}{3}z - 3y + z = 2 \;\Longrightarrow\; -\frac{1}{3}z - 3y = 2 \;\Longrightarrow\; z + 9y = -6 \;\Longrightarrow\; z = -6 - 9y.

Passo 3

Das equações
5y - 2w = -5 \quad\text{e}\quad y - z + w = -4,
isolamos w na primeira:
5y - 2w = -5 \implies w = \frac{5y + 5}{2}.
Substituímos em y - z + w = -4:
y - z + \frac{5y + 5}{2} = -4 \;\Longrightarrow\; 2y - 2z + 5y + 5 = -8 \;\Longrightarrow\; 7y - 2z = -13 \;\Longrightarrow\; 2z = 7y + 13 \;\Longrightarrow\; z = \frac{7y + 13}{2}.

Passo 4

Igualamos as duas expressões para z:
-6 - 9y = \frac{7y + 13}{2} \;\Longrightarrow\; -12 - 18y = 7y + 13 \;\Longrightarrow\; -25y = 25 \;\Longrightarrow\; y = -1.
Em seguida,
z = -6 - 9y = -6 - 9(-1) = 3.

Passo 5

Finalmente, obtemos x e w:
x = -\frac{2}{3}z = -\frac{2}{3}\cdot 3 = -2, \qquad w = \frac{5y + 5}{2} = \frac{5(-1) + 5}{2} = 0.

Resposta

x = -2,\quad y = -1,\quad z = 3,\quad w = 0.

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