Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(n)\left\{\begin{aligned}3 x+2 y+z & =2 \\\\ 4 x+2 y+2 z & =8, \\\ x-y+z & =4\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 3x+2y+z = 2,\\\\ 4x+2y+2z = 8,\\\ x - y + z = 4 \end{cases}
usando o método de Gauss–Jordan e, ao final, classificar o sistema (possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível). Vamos montar a matriz aumentada e reduzi-la à forma reduzida por linhas.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema e, para facilitar, trocamos R_1 com R_3 (assim o pivô na primeira coluna será 1):
\left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 2\\\\ 4 & 2 & 2 & 8\\\\ 1 & -1 & 1 & 4 \end{array}\right) \;\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_3}\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 4\\\\ 4 & 2 & 2 & 8\\\\ 3 & 2 & 1 & 2 \end{array}\right)

Passo 3

Usamos o pivô de R_1 para zerar as entradas abaixo na coluna 1:
R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 4\\\\ 0 & 6 & -2 & -8\\\\ 0 & 5 & -2 & -10 \end{array}\right)

Passo 4

Escalonamos R_2 para que o pivô seja 1 e eliminamos acima e abaixo na coluna 2:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{6}R_2 \;\Rightarrow\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 4\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3}\\\\ 0 & 5 & -2 & -10 \end{array}\right)
R_1 \leftarrow R_1 + R_2,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 5R_2 \;\Rightarrow\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{8}{3}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{10}{3} \end{array}\right)

Passo 5

Escalonamos R_3 para que o pivô seja 1 e eliminamos nas colunas acima:
R_3 \leftarrow -3R_3 \;\Rightarrow\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{8}{3}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3}\\\\ 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}\right)
R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{2}{3}R_3,\quad R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{3}R_3 \;\Rightarrow\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -4\\\\ 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}\right)
Da forma reduzida, lemos diretamente
x = -4,\quad y = 2,\quad z = 10.

Resposta

A solução é
x = -4,\quad y = 2,\quad z = 10.
O sistema é possível e determinado.

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