Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(a)\left\{\begin{aligned} x+2 y+z & =0 \\\\ 2 x+y-z & =0, \\\\ 3 x-y-2 z & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} x + 2y + z = 0,\\\\ 2x + y - z = 0,\\\\ 3x - y - 2z = 0, \end{cases}
pede para resolvê-lo pelo Método de Gauss–Jordan e classificá-lo (se tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e começamos a eliminação de Gauss–Jordan:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & -1 & 0\\\\ 3 & -1 & -2 & 0 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos a variável x das linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô:
L2 \to L2 - 2\cdotL1 e L3 \to L3 - 3\cdotL1, obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & -3 & -3 & 0\\\\ 0 & -7 & -5 & 0 \end{array}\right]

Passo 4

Tornamos o pivô da linha 2 igual a 1 dividindo L2 por -3:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -7 & -5 & 0 \end{array}\right]
Em seguida, eliminamos y de L1 e de L3:
L1 \to L1 - 2\cdotL2 e L3 \to L3 + 7\cdotL2, o que dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right]

Passo 5

Dividimos L3 por 2 para normalizar o pivô e depois eliminamos z de L1 e L2:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 6

Na forma escalonada reduzida, lemos diretamente
x = 0,\quad y = 0,\quad z = 0.
É o sistema homogêneo trivial com solução única.

Passo 7

Como há exatamente uma solução, o sistema é possível e determinado (SPD).

Resposta

x=0,\;y=0,\;z=0.
Classificação: Sistema Possível e Determinado (SPD).

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