Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(b)\left\{\begin{array}{rl}x+2 y-z & =2 \\\\ 2 x-y+z & =5 \\\ x+3 y+2 z & =9 \\\\ 3 x-y+4 z & =13\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com quatro equações e três incógnitas e pede para usarmos o método de Gauss–Jordan, que consiste em montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares até obter a forma reduzida por linhas (reduced row echelon form). A seguir, vamos:
  1. Montar a matriz aumentada.
  2. Eliminar a primeira coluna (variável x).
  3. Eliminar a segunda coluna (variável y).
  4. Eliminar a terceira coluna (variável z).
  5. Verificar consistência, achar as incógnitas e classificar o sistema.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos x das linhas 2, 3 e 4 usando operações do tipo L_i \leftarrow L_i - k\,L_1:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 2 & -1 & 1 & 5\\\\ 1 & 3 & 2 & 9\\\\ 3 & -1 & 4 & 13 \end{array}\right) \;\xrightarrow{L_2 - 2L_1,\;L_3 - L_1,\;L_4 - 3L_1}\; \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & -5 & 3 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 & 7\\\\ 0 & -7 & 7 & 7 \end{array}\right)

Passo 3

Escolhemos o pivô 1 em L_3 para eliminar y nas demais linhas:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & -5 & 3 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 & 7\\\\ 0 & -7 & 7 & 7 \end{array}\right) \;\xrightarrow{\substack{L_1 - 2L_3\\\ L_2 + 5L_3\\\ L_4 +7L_3}} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -7 & -12\\\\ 0 & 0 & 18 & 36\\\\ 0 & 1 & 3 & 7\\\\ 0 & 0 & 28 & 56 \end{array}\right)

Passo 4

Agora o pivô de L_2 é 18 na coluna de z. Da equação
18\,z = 36
vem
z = 2.
Verificamos L_4: 28\,z =56 também dá z=2, então não há contradição.

Passo 5

Substituindo z=2 em L_3 e em L_1:
L_3:\;y +3z =7\;\longrightarrow\;y +3\cdot2 =7\;\longrightarrow\;y=1,
L_1:\;x -7z = -12\;\longrightarrow\;x -7\cdot2 = -12\;\longrightarrow\;x=2.
Como obtivemos exatamente uma solução e o posto da matriz de coeficientes é 3 (igual ao número de incógnitas), o sistema é compatível determinado.

Resposta

x=2,\;y=1,\;z=2. O sistema é compatível determinado.

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