Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{rl}x+2 y-z & =2 \\\\ 2 x-y+z & =5 \\\ x+3 y+2 z & =9 \\\\ 3 x-y+4 z & =13\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de quatro equações e três incógnitas (x,y,z). Vamos usar o Método de Gauss–Jordan para levar a matriz aumentada à forma reduzida e, a partir daí, obter a solução e classificar o sistema em termos de compatibilidade.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada [A\mid b] e eliminamos os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (usando R_2\leftarrow R_2-2R_1, R_3\leftarrow R_3-R_1, R_4\leftarrow R_4-3R_1):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 2 & -1 & 1 & 5\\\\ 1 & 3 & 2 & 9\\\\ 3 & -1 & 4 & 13 \end{array}\right] \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & -5 & 3 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 & 7\\\\ 0 & -7 & 7 & 7 \end{array}\right]

Passo 3

Agora trocamos R_2 com R_3 para ter pivô unitário na segunda linha e eliminamos as outras entradas na segunda coluna (com R_1\leftarrow R_1-2R_2, R_3\leftarrow R_3+5R_2, R_4\leftarrow R_4+7R_2):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & 1 & 3 & 7\\\\ 0 & -5 & 3 & 1\\\\ 0 & -7 & 7 & 7 \end{array}\right] \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -7 & -12\\\\ 0 & 1 & 3 & 7\\\\ 0 & 0 & 18 & 36\\\\ 0 & 0 & 28 & 56 \end{array}\right]

Passo 4

Escolhemos o pivô 18 em R_3, dividimos por 18 e eliminamos a terceira coluna acima e abaixo (com R_1\leftarrow R_1+7R_3, R_2\leftarrow R_2-3R_3, R_4\leftarrow R_4-28R_3):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -7 & -12\\\\ 0 & 1 & 3 & 7\\\\ 0 & 0 & 18 & 36\\\\ 0 & 0 & 28 & 56 \end{array}\right] \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

Passo 5

A forma reduzida exibe pivôs em todas as colunas de incógnitas e uma linha zero no final. Isso indica que
x=2,\quad y=1,\quad z=2.
Como o posto da matriz de coeficientes é 3 e o posto da matriz aumentada também é 3, igual ao número de incógnitas, o sistema é compatível determinado (tem solução única).

Resposta

O sistema é compatível determinado e sua solução é
(x,y,z)=(2,\,1,\,2).

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