Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os. \left\{\begin{array}{rl}x+2 y-z & =2 \\\\ 2 x-y+z & =5 \\\ x+3 y+2 z & =9 \\\\ 3 x-y+4 z & =13\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema de quatro equações e três incógnitas (x,y,z). Vamos usar o Método de Gauss–Jordan para levar a matriz aumentada à forma reduzida e, a partir daí, obter a solução e classificar o sistema em termos de compatibilidade.
Passo 2
Escrevemos a matriz aumentada [A\mid b] e eliminamos os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (usando R_2\leftarrow R_2-2R_1, R_3\leftarrow R_3-R_1, R_4\leftarrow R_4-3R_1):
Agora trocamos R_2 com R_3 para ter pivô unitário na segunda linha e eliminamos as outras entradas na segunda coluna (com R_1\leftarrow R_1-2R_2, R_3\leftarrow R_3+5R_2, R_4\leftarrow R_4+7R_2):
Escolhemos o pivô 18 em R_3, dividimos por 18 e eliminamos a terceira coluna acima e abaixo (com R_1\leftarrow R_1+7R_3, R_2\leftarrow R_2-3R_3, R_4\leftarrow R_4-28R_3):
A forma reduzida exibe pivôs em todas as colunas de incógnitas e uma linha zero no final. Isso indica que
x=2,\quad y=1,\quad z=2.
Como o posto da matriz de coeficientes é 3 e o posto da matriz aumentada também é 3, igual ao número de incógnitas, o sistema é compatível determinado (tem solução única).
Resposta
O sistema é compatível determinado e sua solução é