Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{rl}x+2 y-z & +w=0 \\\\ -x-y+2 z & -3 t+w=0 \\\ x+y-2 z & -w=0 \\\ z+t+w & =0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x + 2y - z + w = 0,\\\\ -\,x - y + 2z - 3t + w = 0,\\\ x + y - 2z - w = 0,\\\ z + t + w = 0 \end{cases}
usando o Método de Gauss–Jordan, ou seja, reduzir a matriz aumentada até a forma reduzida por linhas (RREF) e, a partir dela, escrever a solução geral e classificar a existência e a quantidade de soluções.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada [A\mid \mathbf{0}] com a ordem de colunas (x,y,z,t,w):
\left[\begin{array}{rrrrr|r} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\\\ -1 & -1 & 2 & -3 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Usamos a_{11}=1 como pivô e eliminamos abaixo:
R_2 \leftarrow R_2 + R_1
R_3 \leftarrow R_3 - R_1
Fica
\left[\begin{array}{rrrrr|r} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & -3 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & -1 & 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Tomamos a_{22}=1 em R_2 e eliminamos na coluna 2 de R_1 e R_3:
R_1 \leftarrow R_1 - 2\,R_2
R_3 \leftarrow R_3 + R_2
O sistema fica
\left[\begin{array}{rrrrr|r} 1 & 0 & -3 & 6 & -3 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & -3 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right].

Passo 5

Permutamos R_3\leftrightarrow R_4 para ter pivô em coluna 3 e, em seguida, eliminamos na coluna 3 de R_1 e R_2:
R_1 \leftarrow R_1 + 3\,R_3
R_2 \leftarrow R_2 - R_3
\left[\begin{array}{rrrrr|r} 1 & 0 & 0 & 9 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & -4 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 6

Normalizamos o pivô em R_4 (dividindo por -3) e eliminamos a coluna 4 em todas as outras linhas:
R_4 \leftarrow -\tfrac13\,R_4 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{rrrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 7

Da forma reduzida por linhas lemos diretamente:
x = 0,\quad y + w = 0,\quad z + w = 0,\quad t = 0.
Logo w é parâmetro livre. Chamando w = s, temos
x = 0,\; y = -s,\; z = -s,\; t = 0,\; w = s,
ou seja
(x,y,z,t,w) = s\,(0,-1,-1,0,1), \quad s\in\mathbb{R}.

Resposta

O sistema é compatível indeterminado, com infinitas soluções dadas por
(x,y,z,t,w) = s\,(0,-1,-1,0,1), \quad s\in\mathbb{R}.

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