Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os. \left\{\begin{aligned}3 x+2 y-4 z & =1 \\\ x-y+z & =3 \\\ x-y-3 z & =-3, \\\\ 3 x+3 y-5 z & =0 \\\\ -x+y+z & =1\end{aligned}\right.
Passo 1
Estamos com dois sistemas lineares em três incógnitas (x,y,z). Vamos usar o método de Gauss–Jordan (eliminação para a forma reduzida por linhas) para encontrar as soluções de cada sistema e depois classificá-los (determinado, indeterminado ou impossível).
Passo 2
Para o Sistema 1
\begin{cases} 3x + 2y - 4z = 1,\\\ x - y + z = 3,\\\ x - y - 3z = -3, \end{cases}
montamos a matriz aumentada e fazemos uma troca de linhas para ter pivô 1 na primeira posição:
Escolhendo z = t como parâmetro livre, obtemos a família de soluções
y = \tfrac12 + \tfrac{t}{3}, \quad x = -1 + \bigl(\tfrac12 + \tfrac{t}{3}\bigr) + t = -\tfrac12 + \tfrac{4t}{3}.
Há infinitas soluções, então o Sistema 2 é indeterminado.
Resposta
Sistema 1: (x,y,z) = \bigl(2,\tfrac12,\tfrac32\bigr). Determinado.
Sistema 2: \{(x,y,z)\mid x = -\tfrac12 + \tfrac{4t}{3},\\ y = \tfrac12 + \tfrac{t}{3},\\ z = t,\\ t\in\mathbb{R}\}. Indeterminado.