Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned}3 x+2 y-4 z & =1 \\\ x-y+z & =3 \\\ x-y-3 z & =-3, \\\\ 3 x+3 y-5 z & =0 \\\\ -x+y+z & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

Estamos com dois sistemas lineares em três incógnitas (x,y,z). Vamos usar o método de Gauss–Jordan (eliminação para a forma reduzida por linhas) para encontrar as soluções de cada sistema e depois classificá-los (determinado, indeterminado ou impossível).

Passo 2

Para o Sistema 1
\begin{cases} 3x + 2y - 4z = 1,\\\ x - y + z = 3,\\\ x - y - 3z = -3, \end{cases}
montamos a matriz aumentada e fazemos uma troca de linhas para ter pivô 1 na primeira posição:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\\\ 3 & 2 & -4 & 1\\\\ 1 & -1 & -3 & -3 \end{array}\right]
Eliminamos os termos abaixo do pivô em \text{linha}_1:
\begin{aligned} \text{linha}_2 &\gets \text{linha}_2 - 3\cdot\text{linha}_1,\\\ \text{linha}_3 &\gets \text{linha}_3 - 1\cdot\text{linha}_1, \end{aligned} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\\\ 0 & 5 & -7 & -8\\\\ 0 & 0 & -4 & -6 \end{array}\right].

Passo 3

A matriz já está triangular. Fazemos agora a forma reduzida por linhas (Gauss–Jordan) ou simplesmente resolvemos por retro-substituição:
-4z = -6\\ \Rightarrow\\ z = \tfrac{3}{2},
5y -7\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr) = -8\\ \Rightarrow\\\ 5y = -8 + \tfrac{21}{2} = \tfrac{5}{2}\\ \Rightarrow\\ y = \tfrac{1}{2},
x - y + z = 3\\ \Rightarrow\\ x - \tfrac12 + \tfrac32 = 3\\ \Rightarrow\\ x +1 = 3\\ \Rightarrow\\ x = 2.
Como obtemos um único triplo \bigl(2,\tfrac12,\tfrac32\bigr), o Sistema 1 é determinado.

Passo 4

Para o Sistema 2
\begin{cases} 3x + 3y - 5z = 0,\\\\ -\,x + y + z = 1, \end{cases}
montamos a matriz aumentada e trocamos linhas para usar pivô 1:
\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 1 & 1\\\\ 3 & 3 & -5 & 0 \end{array}\right] \\ \xrightarrow{\times(-1)\,\text{na linha}_1}\\ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & -1\\\\ 3 & 3 & -5 & 0 \end{array}\right].
Eliminamos o 3 abaixo do pivô:
\text{linha}_2 \gets \text{linha}_2 - 3\cdot\text{linha}_1 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & -1\\\\ 0 & 6 & -2 & 3 \end{array}\right].

Passo 5

Da segunda linha tiramos
6y - 2z = 3\\ \Rightarrow\\ y = \frac{3 + 2z}{6} = \frac12 + \frac{z}{3}.
Na primeira linha,
x - y - z = -1\\ \Rightarrow\\ x = -1 + y + z.
Escolhendo z = t como parâmetro livre, obtemos a família de soluções
y = \tfrac12 + \tfrac{t}{3}, \quad x = -1 + \bigl(\tfrac12 + \tfrac{t}{3}\bigr) + t = -\tfrac12 + \tfrac{4t}{3}.
Há infinitas soluções, então o Sistema 2 é indeterminado.

Resposta

Sistema 1: (x,y,z) = \bigl(2,\tfrac12,\tfrac32\bigr). Determinado.
Sistema 2: \{(x,y,z)\mid x = -\tfrac12 + \tfrac{4t}{3},\\ y = \tfrac12 + \tfrac{t}{3},\\ z = t,\\ t\in\mathbb{R}\}. Indeterminado.

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