Resolva o sistema homogêneo:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=0 \\\\ 2 x+2 y+2 z=0 \end{array}\right.
e descreva o conjunto solução.

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo com três incógnitas e duas equações:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=0 \\[4pt] 2x+2y+2z=0 \end{array}\right.
O que é pedido:
  • Resolver o sistema, ou seja, encontrar todas as tripletas (x,y,z) que satisfazem as equações.
  • Descrever o conjunto solução (ou seja, caracterizar geometricamente e apresentar uma forma paramétrica).
Informações relevantes dadas:
  • São duas equações lineares em três incógnitas.
  • O segundo membro (lado direito) de ambas as equações é (0,0) porque o sistema é homogêneo.]

Passo 2

Primeiro, uma ideia útil sobre sistemas homogêneos (explicação curta e prática): um sistema homogêneo sempre tem a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). Para ver se há soluções não-triviais (alguma variável diferente de zero), verificamos se as equações são linearmente independentes. Na prática de prova, usa-se eliminação de Gauss para reduzir o sistema e identificar equações redundantes e variáveis livres. Vou aplicar eliminação de forma clara, passo a passo.
Escrevendo a matriz aumentada do sistema (aqui o termo constante é zero, mas mostro a forma para visualizar as operações):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}\right]
Aplicamos a operação de linha R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 para eliminar a primeira coluna da segunda linha:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Isso mostra que a segunda equação é múltiplo da primeira (de fato a segunda é exatamente 2 vezes a primeira), então há apenas uma equação independente: x+y+z=0.

Passo 3

Com apenas a equação independente x+y+z=0 e três incógnitas, teremos duas variáveis livres. Para escrever a solução de forma prática, escolho duas variáveis livres e expresso a terceira em função delas. Uma escolha comum é tomar y e z como parâmetros livres.
Seja s e t parâmetros reais tais que
y = s,\qquad z = t.
Então da equação x+y+z=0 vem
x = -y - z = -s - t.
Agora escrevemos a solução em forma paramétrica e em forma vetorial (o que é muito útil na prova).
Em coordenadas:
(x,y,z) = (-s-t,\; s,\; t).
Separando os parâmetros:
(x,y,z) = s(-1,1,0) + t(-1,0,1),\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Isto significa que o conjunto solução é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores (-1,1,0) e (-1,0,1). Esses dois vetores formam uma base do espaço solução. O espaço solução é um subespaço de \mathbb{R}^3 de dimensão 2.

Passo 4

Interpretação geométrica e checagem rápida: a equação x+y+z=0 descreve um plano que passa pela origem em \mathbb{R}^3 com vetor normal (1,1,1). Portanto o conjunto solução é esse plano. Podemos checar com um exemplo numérico: escolhendo s=1,t=0 obtemos (x,y,z)=(-1,1,0) que satisfaz -1+1+0=0; escolhendo s=0,t=1 obtemos (-1,0,1) que também satisfaz a equação.

Resposta

(x,y,z)=s(-1,1,0)+t(-1,0,1),\; s,t\in\mathbb{R}\n
O conjunto solução é o plano \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\}.