Resolva o sistema: l2 x-y+z=5 3 x+2 y-4 z=0 x-2 y+z=2
escalonamento.

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações:
2x - y + z = 5 3x + 2y - 4z = 0 x - 2y + z = 2
Estamos lidando com um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . Para resolver, vamos usar o método de escalonamento, que é uma técnica de eliminação para simplificar o sistema até encontrar os valores das variáveis.

Passo 2

Primeiro, representamos o sistema na forma de uma matriz aumentada:
2 & -1 & 1 & | & 5 3 & 2 & -4 & | & 0 1 & -2 & 1 & | & 2
Isso facilita visualizar as operações que vamos realizar para simplificar o sistema.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal teremos zeros. Vamos começar eliminando o L2' &= L2 - 32L1 &= [3, 2, -4 | 0] - 32[2, -1, 1 | 5] &= [3 - 3, 2 - (-1.5), -4 - 1.5 | 0 - 7.5] &= [0, 3.5, -5.5 | -7.5] das segunda e terceira equações.
  • Eliminando o L3' &= L3 - 12L1 &= [1, -2, 1 | 2] - 12[2, -1, 1 | 5] &= [1 - 1, -2 - (-0.5), 1 - 0.5 | 2 - 2.5] &= [0, -1.5, 0.5 | -0.5] da segunda equação:
    Multiplicamos a primeira linha por 2 & -1 & 1 & | & 5 0 & 3.5 & -5.5 & | & -7.5 0 & -1.5 & 0.5 & | & -0.5 e subtraímos da segunda linha:
  • Eliminando o da terceira equação:
    Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da terceira linha:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o L3'' &= L3' + ( -1.53.5 )L2' &= [0, -1.5, 0.5 | -0.5] + ( -1.53.5 )[0, 3.5, -5.5 | -7.5] &= [0, -1.5 + (-1.5), 0.5 + (2.357) | -0.5 + (3.214)] &= [0, 0, -2.857 | 2.714] da terceira equação. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 2 & -1 & 1 & | & 5 0 & 3.5 & -5.5 & | & -7.5 0 & 0 & -2.857 & | & 2.714 e somamos à terceira linha:
Agora, temos uma matriz triangular superior:

Passo 5

Com a matriz triangular, podemos fazer a substituição retroativa para encontrar os valores das variáveis.
  • Encontrando -2.857z = 2.714 Rightarrow z = 2.714-2.857 approx -0.95 :
    3.5y - 5.5(-0.95) = -7.5 3.5y + 5.225 = -7.5 3.5y = -12.725 Rightarrow y approx -3.64
  • Encontrando 2x - (-3.64) + (-0.95) = 5 2x + 3.64 - 0.95 = 5 2x + 2.69 = 5 2x = 2.31 Rightarrow x approx 1.16 :
    Substituímos na segunda equação:
  • Encontrando :
    Substituímos e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x approx 1.16, y approx -3.64, z approx -0.95

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