Resolva o sistema:
escalonamento.
escalonamento.
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações:
Estamos lidando com um sistema de equações lineares com três variáveis:
,
e
. Para resolver, vamos usar o método de escalonamento, que é uma técnica de eliminação para simplificar o sistema até encontrar os valores das variáveis.
Passo 2
Primeiro, representamos o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Isso facilita visualizar as operações que vamos realizar para simplificar o sistema.
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal teremos zeros. Vamos começar eliminando o
L2' &= L2 - 32L1 &= [3, 2, -4 | 0] - 32[2, -1, 1 | 5] &= [3 - 3, 2 - (-1.5), -4 - 1.5 | 0 - 7.5] &= [0, 3.5, -5.5 | -7.5] das segunda e terceira equações.
-
Eliminando o
da segunda equação:L3' &= L3 - 12L1 &= [1, -2, 1 | 2] - 12[2, -1, 1 | 5] &= [1 - 1, -2 - (-0.5), 1 - 0.5 | 2 - 2.5] &= [0, -1.5, 0.5 | -0.5]
Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda linha:2 & -1 & 1 & | & 5 0 & 3.5 & -5.5 & | & -7.5 0 & -1.5 & 0.5 & | & -0.5 -
Eliminando o
da terceira equação:
Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da terceira linha:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o
L3'' &= L3' + ( -1.53.5 )L2' &= [0, -1.5, 0.5 | -0.5] + ( -1.53.5 )[0, 3.5, -5.5 | -7.5] &= [0, -1.5 + (-1.5), 0.5 + (2.357) | -0.5 + (3.214)] &= [0, 0, -2.857 | 2.714] da terceira equação. Para isso, multiplicamos a segunda linha por
2 & -1 & 1 & | & 5 0 & 3.5 & -5.5 & | & -7.5 0 & 0 & -2.857 & | & 2.714 e somamos à terceira linha:
Agora, temos uma matriz triangular superior:
Passo 5
Com a matriz triangular, podemos fazer a substituição retroativa para encontrar os valores das variáveis.
-
Encontrando
:-2.857z = 2.714 Rightarrow z = 2.714-2.857 approx -0.95 3.5y - 5.5(-0.95) = -7.5 3.5y + 5.225 = -7.5 3.5y = -12.725 Rightarrow y approx -3.64 -
Encontrando
:2x - (-3.64) + (-0.95) = 5 2x + 3.64 - 0.95 = 5 2x + 2.69 = 5 2x = 2.31 Rightarrow x approx 1.16
Substituímos na segunda equação: -
Encontrando
:
Substituímos e na primeira equação:
Resposta
A solução do sistema é: