Resolva o sistema $\left\{\begin{array}{c}2 x-y+z=0 \\\\ 3 x+2 y-4 z=0 \\\\ 5 x+ y-3 z=0\end{array}\right.$

O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo de três equações e três incógnitas, ou seja, encontrar todas as soluções de

\begin{cases} 2x - y + z = 0,\\\\ 3x + 2y - 4z = 0,\\\\ 5x + y - 3z = 0. \end{cases}

O conteúdo envolvido é álgebra linear: como é um sistema homogêneo, sempre existe a solução trivial

(0,0,0)

e, se o posto da matriz dos coeficientes for menor que 3, teremos infinitas soluções. Vamos usar o método de substituição (ou eliminação).

Da primeira equação isolamos

y

. A equação é

2x - y + z = 0,

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y = 2x + z.

Substituímos

y = 2x + z

na terceira equação

5x + y - 3z = 0

para obter uma relação entre

x

z

. Ficamos com

5x + (2x + z) - 3z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 7x - 2z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = \tfrac{7}{2}x.

Usando

z = \tfrac{7}{2}x

na expressão de

y

do Passo 2, temos

y = 2x + \tfrac{7}{2}x = \tfrac{11}{2}x.

Para verificar consistência, substituímos

y=\tfrac{11}{2}x

z=\tfrac{7}{2}x

na segunda equação

3x + 2y - 4z = 0.

Fazendo isso,

3x + 2\bigl(\tfrac{11}{2}x\bigr) - 4\bigl(\tfrac{7}{2}x\bigr) =3x + 11x -14x =0,

ou seja, a segunda equação é satisfeita automaticamente. Isso mostra que o posto é 2 e temos uma família de soluções com um parâmetro livre.

Como

x

é livre, chamamos

x = t

. Então

y = \tfrac{11}{2}t, \quad z = \tfrac{7}{2}t,

com

t\in\mathbb{R}

. Para eliminar frações, podemos reparametrizar definindo

k = \tfrac{t}{2}

, obtendo

(x,y,z) = k\,(2,11,7), \quad k\in\mathbb{R}.

A solução geral é

(x,y,z) = k\,(2,11,7), \quad k\in\mathbb{R}.

Resolva o sistema \left\{\begin{array}{c}2 x-y+z=0 \\\\ 3 x+2 y-4 z=0 \\\\ 5 x+ y-3 z=0\end{array}\right.