Resolva o sistema linear usando a Regra de Cramer: \left\{\begin{array}{l}2 x+3 y=5 \\\ x-4 y=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 2x + 3y = 5,\\\ x - 4y = -2, \end{cases}
e pede para resolver usando a Regra de Cramer. Essa regra afirma que, para um sistema linear 2\times2, a solução é
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},
onde D é o determinante da matriz de coeficientes, D_x é o determinante obtido trocando a coluna de x pelos termos independentes, e D_y análogamente para y.

Passo 2

Calcular o determinante principal D da matriz de coeficientes
D = \det\begin{pmatrix}2 & 3 \\[6pt] 1 & -4\end{pmatrix} = 2 \cdot (-4) \;-\; 3 \cdot 1 = -8 - 3 = -11.]

Passo 3

Formar D_x substituindo a coluna de x pelos termos independentes (5,\,-2)
D_x = \det\begin{pmatrix}5 & 3 \\[6pt] -2 & -4\end{pmatrix} = 5 \cdot (-4) \;-\; 3 \cdot (-2) = -20 + 6 = -14.]

Passo 4

Formar D_y substituindo a coluna de y pelos termos independentes (5,\,-2)
D_y = \det\begin{pmatrix}2 & 5 \\[6pt] 1 & -2\end{pmatrix} = 2 \cdot (-2) \;-\; 5 \cdot 1 = -4 - 5 = -9.]

Passo 5

Aplicar a Regra de Cramer para encontrar x e y:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-14}{-11} = \frac{14}{11}, \qquad y = \frac{D_y}{D} = \frac{-9}{-11} = \frac{9}{11}.

Resposta

x = \tfrac{14}{11},\;y = \tfrac{9}{11}.

Exercícios relacionados