1. a. Resolva o sistema
u=x+2 y, \quad v=x-y
para x e y em termos de u e v. Em seguida, encontre o valor do jacobiano \partial(x, y) / \partial(u, v).
b. Encontre a imagem pela transformação u=x+2 y, v=x-y da região triangular no plano x y delimitada pelas retas y=0, y=x e x+2 y=2. Esboce a região transformada no plano u v.

Passo 1

O enunciado define a transformação u = x + 2y, v = x - y e pede (a) inverter essa relação para obter x(u,v), y(u,v) e calcular o jacobiano \partial(x,y)/\partial(u,v); e (b) encontrar a imagem do triângulo em xy delimitado por y=0, y=x e x+2y=2 no plano uv.

Passo 2

Para inverter o sistema, subtraímos a segunda equação da primeira:
u - v = (x + 2y) - (x - y) = 3y,
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y = \frac{u - v}{3}.
Substituindo em v = x - y
x = v + y = v + \frac{u - v}{3} = \frac{u + 2v}{3}.

Passo 3

O jacobiano é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\Bigl(-\frac{1}{3}\Bigr)-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}.

Passo 4

O triângulo em xy tem vértices em A=(0,0), B=(2,0) e C=(2/3,2/3). Aplicando u=x+2y, v=x-y:
Em A: (u,v)=(0,0).
Em B: (u,v)=(2,2).
Em C: (u,v)=(2,0).
As arestas y=0, y=x e x+2y=2 viram v=u, v=0 e u=2, respectivamente.

Passo 5

No plano uv, a imagem é o triângulo com vértices (0,0), (2,0), (2,2), delimitado pelas retas
v=0,\quad u=2,\quad v=u.

Resposta

a. \displaystyle x=\frac{u+2v}{3},\quad y=\frac{u-v}{3}. \displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=-\frac{1}{3}. b. A região transformada é o triângulo em uv com vértices (0,0), (2,0), (2,2), delimitado por \,v=0,\quad u=2,\quad v=u.

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