(6) Resolva o sistema:
e
.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema de duas equações com incógnitas
e
:
O que se pede: encontrar todos os pares ordenados
que satisfazem simultaneamente essas equações. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As expressões
e aparecem somadas e multiplicadas. - Para qualquer número real
vale . Portanto as quantidades e são positivas.
Passo 2
Trocar a incógnita exponencial por variáveis auxiliares facilita a resolução. Definimos
Comentário didático: essa é uma técnica comum — substituir
por uma nova variável transforma equações com exponenciais em equações algébricas, que costumam ser mais fáceis de resolver. Observe que, por propriedade da exponencial,
Substituindo no sistema original obtemos o sistema em
:
Passo 3
Interpretar
e
como raízes de um polinômio. Se
e
são números que satisfazem
e
, então são as raízes da equação quadrática
ou seja
Explicação da ideia: para um polinómio quadrático
, as somas e produtos das raízes são
e
, respectivamente (isso vem da fatoração
). Aqui
e
.
Passo 4
Resolver a quadrática. Fatorando o polinômio:
Logo as raízes são
Portanto as possíveis valores para
são as permutações de
e
:
Verificação rápida:
e
, então ambas as permutações satisfazem o sistema em
.
Passo 5
Voltar às variáveis originais
. Como
e
, aplicamos a função inversa da exponencial, que é o logaritmo natural
. Propriedade usada: se
e
, então
. Assim, das duas possibilidades em
obtemos:
- Se
, então . - Se
, então .
Checagem final (plugando de volta no sistema): por exemplo, para
,
portanto satisfaz o sistema. O mesmo vale para a permutação.