(6) Resolva o sistema: e^{x}+e^{y}=5 e e^{x} \cdot e^{y}=6.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de duas equações com incógnitas x e y:
e^{x}+e^{y}=5
e^{x}\cdot e^{y}=6
O que se pede: encontrar todos os pares ordenados (x,y) que satisfazem simultaneamente essas equações. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As expressões e^{x} e e^{y} aparecem somadas e multiplicadas.
  • Para qualquer número real t vale e^{t}>0. Portanto as quantidades e^{x} e e^{y} são positivas.

Passo 2

Trocar a incógnita exponencial por variáveis auxiliares facilita a resolução. Definimos
a = e^{x},\qquad b = e^{y}.
Comentário didático: essa é uma técnica comum — substituir e^{x} por uma nova variável transforma equações com exponenciais em equações algébricas, que costumam ser mais fáceis de resolver. Observe que, por propriedade da exponencial,
a>0,\qquad b>0.
Substituindo no sistema original obtemos o sistema em a,b:
a+b=5
ab=6

Passo 3

Interpretar a e b como raízes de um polinômio. Se a e b são números que satisfazem a+b=5 e ab=6, então são as raízes da equação quadrática
t^{2}-(a+b)t+ab=0,
ou seja
t^{2}-5t+6=0.
Explicação da ideia: para um polinómio quadrático t^{2}-St+P, as somas e produtos das raízes são S e P, respectivamente (isso vem da fatoração (t-r_{1})(t-r_{2})=t^{2}-(r_{1}+r_{2})t+r_{1}r_{2}). Aqui S=5 e P=6.

Passo 4

Resolver a quadrática. Fatorando o polinômio:
t^{2}-5t+6=(t-2)(t-3)=0.
Logo as raízes são
t=2\quad\text{ou}\quad t=3.
Portanto as possíveis valores para (a,b) são as permutações de 2 e 3:
(a,b)=(2,3)\quad\text{ou}\quad(a,b)=(3,2).
Verificação rápida: 2+3=5 e 2\cdot3=6, então ambas as permutações satisfazem o sistema em a,b.

Passo 5

Voltar às variáveis originais x,y. Como a=e^{x} e b=e^{y}, aplicamos a função inversa da exponencial, que é o logaritmo natural \ln. Propriedade usada: se e^{u}=v e v>0, então u=\ln v. Assim, das duas possibilidades em (a,b) obtemos:
  • Se (a,b)=(2,3), então (x,y)=(\ln 2,\ln 3).
  • Se (a,b)=(3,2), então (x,y)=(\ln 3,\ln 2).
Checagem final (plugando de volta no sistema): por exemplo, para (x,y)=(\ln 2,\ln 3),
e^{x}+e^{y}=e^{\ln 2}+e^{\ln 3}=2+3=5,
e^{x}\cdot e^{y}=2\cdot3=6,
portanto satisfaz o sistema. O mesmo vale para a permutação.

Resposta

(\ln 2,\ln 3)
(\ln 3,\ln 2)