Resolva os sistemas lineares por escalonamento e classifique.
lx+y-3 z=-2 2 x-3 y-2 z=-21 3 x+2 y-5 z=-3

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de equações lineares para resolver usando o método de escalonamento. Isso significa que vamos organizar as equações em uma matriz e fazer operações para simplificar até achar os valores de , e . Vamos precisar usar operações de linha, como somar ou subtrair linhas, para chegar a uma forma mais fácil de resolver. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:
1 & 1 & -3 & | & -2 2 & -3 & -2 & | & -21 3 & 2 & -5 & | & -3
Isso nos ajuda a visualizar melhor e aplicar as operações de forma organizada.

Passo 3

Vamos começar eliminando o R2 = R2 - 2 times R1 das segunda e terceira equações. Para isso, usamos a primeira linha.
  • Eliminar o 2 - 2 times 1 = 0 -3 - 2 times 1 = -5 -2 - 2 times (-3) = 4 -21 - 2 times (-2) = -17 da segunda linha:
    Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
    0 -5 4 | -17
    Calculando:
    R3 = R3 - 3 times R1
    A segunda linha fica:
    3 - 3 times 1 = 0 2 - 3 times 1 = -1 -5 - 3 times (-3) = 4 -3 - 3 times (-2) = 3
  • Eliminar o 0 -1 4 | 3 da terceira linha:
    Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
    1 & 1 & -3 & | & -2 0 & -5 & 4 & | & -17 0 & -1 & 4 & | & 3
    Calculando:
    A terceira linha fica:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por R2 = R2-5 para facilitar os cálculos futuros:
0 1 -45 | 175
Calculando:
1 & 1 & -3 & | & -2 0 & 1 & -45 & | & 175 0 & -1 & 4 & | & 3
Agora, a matriz fica:

Passo 5

Vamos eliminar o R3 = R3 + R2 da terceira linha usando a segunda linha:
0 + 0 = 0 -1 + 1 = 0 4 - 45 = 165 3 + 175 = 325
Calculando:
0 0 165 | 325
A terceira linha fica:
1 & 1 & -3 & | & -2 0 & 1 & -45 & | & 175 0 & 0 & 165 & | & 325
Agora, a matriz está assim:

Passo 6

Agora, vamos resolver para 165z = 325 a partir da terceira linha:
z = 325 div 165 = 2
Dividindo ambos os lados por :
Então, .

Passo 7

Com o valor de y - 45z = 175 conhecido, vamos substituir na segunda linha para encontrar y - 45 times 2 = 175 y - 85 = 175 y = 175 + 85 = 255 = 5 :
Substituindo :
Então, .

Passo 8

Agora, vamos substituir x + y - 3z = -2 e x + 5 - 3 times 2 = -2 x + 5 - 6 = -2 x - 1 = -2 x = -1 na primeira linha para encontrar :
Substituindo:
Então, .

Resposta

A solução do sistema é:
x = -1, y = 5, z = 2

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