Resolva os sistemas lineares por escalonamento e classifique.
Passo 1
Então, a gente tem um sistema de equações lineares para resolver usando o método de escalonamento. Isso significa que vamos organizar as equações em uma matriz e fazer operações para simplificar até achar os valores de
,
e
. Vamos precisar usar operações de linha, como somar ou subtrair linhas, para chegar a uma forma mais fácil de resolver. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:
Isso nos ajuda a visualizar melhor e aplicar as operações de forma organizada.
Passo 3
Vamos começar eliminando o
R2 = R2 - 2 times R1 das segunda e terceira equações. Para isso, usamos a primeira linha.
-
Eliminar o
da segunda linha:2 - 2 times 1 = 0 -3 - 2 times 1 = -5 -2 - 2 times (-3) = 4 -21 - 2 times (-2) = -17 Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:0 -5 4 | -17 Calculando:R3 = R3 - 3 times R1 A segunda linha fica:3 - 3 times 1 = 0 2 - 3 times 1 = -1 -5 - 3 times (-3) = 4 -3 - 3 times (-2) = 3 -
Eliminar o
da terceira linha:0 -1 4 | 3 Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:1 & 1 & -3 & | & -2 0 & -5 & 4 & | & -17 0 & -1 & 4 & | & 3 Calculando:A terceira linha fica:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por
R2 = R2-5 para facilitar os cálculos futuros:
Calculando:
Agora, a matriz fica:
Passo 5
Vamos eliminar o
R3 = R3 + R2 da terceira linha usando a segunda linha:
Calculando:
A terceira linha fica:
Agora, a matriz está assim:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
165z = 325 a partir da terceira linha:
Dividindo ambos os lados por
:
Então,
.
Passo 7
Com o valor de
y - 45z = 175 conhecido, vamos substituir na segunda linha para encontrar
y - 45 times 2 = 175 y - 85 = 175 y = 175 + 85 = 255 = 5 :
Substituindo
:
Então,
.
Passo 8
Agora, vamos substituir
x + y - 3z = -2 e
x + 5 - 3 times 2 = -2 x + 5 - 6 = -2 x - 1 = -2 x = -1 na primeira linha para encontrar
:
Substituindo:
Então,
.
Resposta
A solução do sistema é: