Resolva os sistemas, se possível, e classifique-os.
\left\{\begin{array}{l}x+y+2 z=4 \\\\ 2 x-3 y+z=0 \\\\ 5 x-y-z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} x + y + 2z = 4,\\\\ 2x - 3y + z = 0,\\\\ 5x - y - z = 3. \end{cases}
Estamos em Álgebra Linear, e vamos usar o método de eliminação (substituição) para encontrar a solução e depois classificar o sistema pela existência e unicidade da solução.

Passo 2

Isolamos x na primeira equação:
x + y + 2z = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = 4 - y - 2z.

Passo 3

Substituímos x = 4 - y - 2z nas segunda e terceira equações para obter um sistema de duas equações nas variáveis y e z.
Na segunda equação:
2x - 3y + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2(4 - y - 2z) - 3y + z = 0 \;\Longrightarrow\; 8 -2y -4z -3y + z = 0 \;\Longrightarrow\; 5y + 3z = 8.
Na terceira equação:
5x - y - z = 3 \quad\Longrightarrow\quad 5(4 - y - 2z) - y - z = 3 \;\Longrightarrow\; 20 -5y -10z -y - z = 3 \;\Longrightarrow\; 6y + 11z = 17.

Passo 4

Resolvemos o sistema
\begin{cases} 5y + 3z = 8,\\\\ 6y + 11z = 17. \end{cases}
Por eliminação, multiplicamos a primeira por 6 e a segunda por 5:
30y + 18z = 48,\quad 30y + 55z = 85.
Subtraindo:
(30y+18z)-(30y+55z)=48-85 \;\Longrightarrow\; -37z = -37 \;\Longrightarrow\; z = 1.
Substituindo em 5y+3z=8:
5y + 3\cdot1 = 8 \;\Longrightarrow\; 5y = 5 \;\Longrightarrow\; y = 1.

Passo 5

Agora voltamos em x = 4 - y - 2z para achar x:
x = 4 - 1 - 2\cdot1 = 1.
Logo, a solução única é
(x,y,z) = (1,\,1,\,1).

Passo 6

O sistema é compatível e possui exatamente uma solução (o número de variáveis é igual ao posto da matriz dos coeficientes), ou seja, é sistema compatível determinado.

Resposta

A solução é (x,y,z) = (1,1,1).
Classificação: sistema compatível determinado.

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