Resolva os sistemas, se possível, e classifique-os.
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=6 \\\\ 3 x+2 y-z=4 \\\\ 5 x-4 y+3 z=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares com três incógnitas:
\begin{cases} x+y+z=6,\\\\ 3x+2y-z=4,\\\\ 5x-4y+3z=6.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares de ordem 3 por eliminação de Gauss e classificação via determinante.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos x nas equações 2 e 3 usando operações elementares:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 3 & 2 & -1 & 4\\\\ 5 & -4 & 3 & 6 \end{array}\right] \;\xrightarrow{R_2\leftarrow R_2-3R_1,\;R_3\leftarrow R_3-5R_1}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & -1 & -4 & -14\\\\ 0 & -9 & -2 & -24 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos y na terceira linha:
R_3 \leftarrow R_3 - 9\,R_2 \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & -1 & -4 & -14\\\\ 0 & 0 & 34 & 102 \end{array}\right].
Da terceira linha vem \;34\,z = 102, logo \;z = 102/34 = 3.

Passo 4

Substituímos \;z=3 na segunda e primeira linhas:
- Segunda linha: -y -4\cdot3 = -14 \Longrightarrow -y -12 = -14 \Longrightarrow y = 2.
- Primeira linha: x + y + z = 6 \Longrightarrow x + 2 + 3 = 6 \Longrightarrow x = 1.

Passo 5

Para classificar, calculamos o determinante da matriz de coeficientes:
\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 3 & 2 & -1\\\\ 5 & -4 & 3 \end{pmatrix} = -34 \neq 0.
Como o determinante é não nulo, o sistema é compatível determinado (tem exatamente uma solução).

Resposta

O sistema é compatível determinado e sua única solução é
(x,y,z) = (1,\,2,\,3).

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