Condição inicial: y(0)=0\].
O que o problema pede: encontrar a solução \(y(t) para t\ge 0.]
Passo 2
Primeiro reescrevo f(t) usando a função degrau de Heaviside u(t-a). Isso facilita trabalhar com transformadas. A ideia é escrever f como um valor base mais uma alteração em t=4.
Calculo a diferença entre o valor após e antes de t=4: -3-2=-5. Assim
f(t)=2-5\,u(t-4).
Explicação rápida do que é u(t-4): u(t-4)=0 quando t<4 e u(t-4)=1 quando t\ge 4. Logo essa expressão reproduz exatamente o trecho por trechodo enunciado.
Passo 3
Agora aplico a transformada de Laplace. Vou lembrar e explicar as fórmulas que usarei:
Definição: a transformada de Laplace de uma função g(t) é \mathcal{L}\{g(t)\}=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-st}g(t)\,dt. Denotarei \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s).
Linearidade: \mathcal{L}\{a g_1 + b g_2\} = a\mathcal{L}\{g_1\}+b\mathcal{L}\{g_2\}.
Derivada: \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0). Aqui s é a variável da transformada.
Transformada da função degrau deslocada (teorema do deslocamento): \mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-as}\mathcal{L}\{g(t)\}. Em particular \mathcal{L}\{u(t-a)\}=e^{-as}/s.
Como o enunciado pediu especificamente por transformadas de Laplace, este é o método indicado.
Passo 4
Aplico \mathcal{L}\{\cdot\} à equação inteira. À esquerda: