Resolva:
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=0, x>0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Euler–Cauchy
x^{2}y'' + x\,y' - 4y = 0,\quad x>0.
O método clássico consiste em propor uma solução do tipo y=x^{m} e determinar os valores de m.

Passo 2

Suponha y=x^{m}. Então
y' = m\,x^{m-1}, \qquad y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo na equação:
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] + x\bigl[m\,x^{m-1}\bigr] -4\,x^{m} =0.

Passo 3

Fatorando x^{m} obtemos
x^{m}\bigl[m(m-1) + m - 4\bigr] = 0.
Como x^{m}\neq0 para x>0, a parte entre colchetes gera a equação característica:
m(m-1) + m - 4 = m^{2} - 4 = 0.

Passo 4

Resolva a equação característica
m^{2} - 4 = 0
cuja solução é
m = 2 \quad\text{ou}\quad m = -2.

Passo 5

Para as raízes distintas m_{1}=2 e m_{2}=-2, a solução geral da equação de Euler é
y(x) = C_{1}\,x^{m_{1}} + C_{2}\,x^{m_{2}} = C_{1}\,x^{2} + C_{2}\,x^{-2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}\,x^{2} + C_{2}\,x^{-2}.

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