Resolva: y^{\prime}=\frac{x e^{-x^{2}}}{y \sqrt{1+y^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{x e^{-x^{2}}}{y \sqrt{1+y^{2}}}
Este é um caso de equação separável, em que podemos colocar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por y\sqrt{1+y^{2}} e por \dif x:
y \sqrt{1+y^{2}}\,\dif y \;=\; x e^{-x^{2}}\,\dif x.

Passo 3

Integre o lado esquerdo usando a substituição u = 1+y^{2}, logo \dif u = 2y\,\dif y, ou seja, y\,\dif y = \tfrac12\,\dif u.
\int y\sqrt{1+y^{2}}\,\dif y = \int \sqrt{u}\,\frac{\dif u}{2} = \frac{1}{2}\int u^{1/2}\,\dif u = \frac{1}{2}\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{u^{3/2}}{3} = \frac{(1+y^{2})^{3/2}}{3}.

Passo 4

Integre o lado direito diretamente:
\int x e^{-x^{2}}\,\dif x.
Use a substituição v = -x^{2}, \dif v = -2x\,\dif x, ou reconheça que é derivada de e^{-x^{2}}. O resultado é
\int x e^{-x^{2}}\,\dif x = -\frac{1}{2}e^{-x^{2}}.

Passo 5

Igualando as integrais e somando uma constante de integração C, temos
\frac{(1+y^{2})^{3/2}}{3} = -\frac{1}{2}e^{-x^{2}} + C.
Multiplique por 3 para simplificar:
(1+y^{2})^{3/2} = -\frac{3}{2}e^{-x^{2}} + C_{1},
onde C_{1}=3C é a nova constante arbitrária.

Passo 6

Se quisermos, podemos deixar a solução de forma implícita ou explicitar y. A forma implícita geral é
(1+y^{2})^{3/2} + \frac{3}{2}e^{-x^{2}} = C_{1}.
Para isolar y, elevamos ambos os lados a 2/3 e subtraímos 1:
1 + y^{2} = \bigl(C_{1} - \tfrac{3}{2}e^{-x^{2}}\bigr)^{2/3}, \quad y^{2} = \bigl(C_{1} - \tfrac{3}{2}e^{-x^{2}}\bigr)^{2/3} - 1,
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y(x) = \pm \sqrt{\,\bigl(C_{1} - \tfrac{3}{2}e^{-x^{2}}\bigr)^{2/3} - 1\,}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
(1+y^{2})^{3/2} + \frac{3}{2}e^{-x^{2}} = C_{1},
ou explicitamente por
y(x) = \pm \sqrt{\,\bigl(C_{1} - \tfrac{3}{2}e^{-x^{2}}\bigr)^{2/3} - 1\,},
onde C_{1} é a constante de integração.

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