Resolva:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Este é um caso de equação separável, em que podemos colocar todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
:
Passo 3
Integre o lado esquerdo usando a substituição
, logo
, ou seja,
.
Passo 4
Integre o lado direito diretamente:
Use a substituição
,
, ou reconheça que é derivada de
. O resultado é
Passo 5
Igualando as integrais e somando uma constante de integração
, temos
Multiplique por 3 para simplificar:
onde
é a nova constante arbitrária.
Passo 6
Se quisermos, podemos deixar a solução de forma implícita ou explicitar
. A forma implícita geral é
Para isolar
, elevamos ambos os lados a
e subtraímos 1:
logo
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
ou explicitamente por
onde
é a constante de integração.