Resolva:
3)
y^{\prime}=\left(x^{2}+2 y^{2}\right) / x y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem não linear
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+2y^{2}}{x\,y}.
Vamos resolvê-la usando a substituição
z=y^{2},
que transforma em uma equação linear em z.

Passo 2

Calculamos
\frac{dz}{dx}=2y\,\frac{dy}{dx}
e substituímos \frac{dy}{dx}=(x^{2}+2y^{2})/(x\,y):
\frac{dz}{dx} =2y\cdot\frac{x^{2}+2y^{2}}{x\,y} =\frac{2(x^{2}+2y^{2})}{x} =\frac{2x^{2}+4y^{2}}{x} =2x+\frac{4z}{x}.
Logo obtemos a equação linear
\frac{dz}{dx}-\frac{4}{x}\,z=2x.

Passo 3

Para resolver essa equação linear, calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -\tfrac{4}{x}\,dx\Bigr)=x^{-4}.
Multiplicando tudo por x^{-4}:
x^{-4}\frac{dz}{dx}-4x^{-5}z =2x\cdot x^{-4} =2x^{-3},
que é equivalente a
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-4}z\bigr)=2x^{-3}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em x:
x^{-4}z=\int 2x^{-3}\,dx=-x^{-2}+C.
Multiplicando por x^{4} resulta
z=Cx^{4}-x^{2}.

Passo 5

Lembrando que z=y^{2}, concluímos que a solução geral é
y^{2}=C\,x^{4}-x^{2},
onde C é constante de integração.

Resposta

y^{2}=C\,x^{4}-x^{2}.

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