Resolver e discutir os sistemas abaixo pela regra de Cramer
a) \left\{\begin{array}{c}2 x-y+z=3 \\\ x+y+z=6 \\\ x-y+2 z=3\end{array}\right.
b) \left\{\begin{array}{c}x+y+2 z=1 \\\\ 3 x+2 y+5 z=2 \\\\ 4 x+3 y+7 z=3\end{array}\right.
c) \left\{\begin{array}{c}x+2 y+z=5 \\\\ 3 x+7 y+2 z=0 \\\\ 2 x-5 y+11 z=13\end{array}\right.
d) \left\{\begin{array}{l}x+y=9 \\\ x+z=8 \\\ y+z=5\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver quatro sistemas lineares de três equações e três incógnitas usando a regra de Cramer e discutir o tipo de solução (única, infinita ou nenhuma). Vamos precisar de cálculo de determinantes de matrizes 3\times3 e da aplicação da fórmula
x_i = \frac{D_i}{D},
onde D é o determinante da matriz de coeficientes e D_i é o determinante com a i-ésima coluna substituída pelos termos constantes.
Passo 2
Regra de Cramer para um sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} com A\in\mathbb{R}^{3\times3}:
– Calcular
D = \det(A).
– Para cada incógnita x_i, formar D_i trocando a i-ésima coluna de A pelo vetor \mathbf{b}.
– Se D\neq0, há solução única dada por x_i=D_i/D.
– Se D=0 e todos os D_i=0, há infinitas soluções.
– Se D=0 e algum D_i\neq0, o sistema é incompatível (sem solução).
Passo 3
Sistema (a):
\begin{cases} 2x - y + z = 3,\\\ x + y + z = 6,\\\ x - y + 2z = 3. \end{cases}
Coeficientes A_a=\begin{pmatrix}2&-1&1\\\ 1&1&1\\\ 1&-1&2\end{pmatrix}.
Cálculo de
Matriz de coeficientes A_b=\begin{pmatrix}1&1&2\\\ 3&2&5\\\ 4&3&7\end{pmatrix}.
Calcula-se
D_b=\det(A_b)=0.
E verifica-se também
D_{x,b}=0,\quad D_{y,b}=0,\quad D_{z,b}=0.
Como D_b=0 e todos os D_{i,b}=0, o sistema tem infinitas soluções.
Para encontrar a forma geral, da primeira equação x=1-y-2z. Substituindo na segunda: