Resolver e discutir os sistemas abaixo pela regra de Cramer
a) \left\{\begin{array}{c}2 x-y+z=3 \\\ x+y+z=6 \\\ x-y+2 z=3\end{array}\right.
b) \left\{\begin{array}{c}x+y+2 z=1 \\\\ 3 x+2 y+5 z=2 \\\\ 4 x+3 y+7 z=3\end{array}\right.
c) \left\{\begin{array}{c}x+2 y+z=5 \\\\ 3 x+7 y+2 z=0 \\\\ 2 x-5 y+11 z=13\end{array}\right.
d) \left\{\begin{array}{l}x+y=9 \\\ x+z=8 \\\ y+z=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver quatro sistemas lineares de três equações e três incógnitas usando a regra de Cramer e discutir o tipo de solução (única, infinita ou nenhuma). Vamos precisar de cálculo de determinantes de matrizes 3\times3 e da aplicação da fórmula
x_i = \frac{D_i}{D},
onde D é o determinante da matriz de coeficientes e D_i é o determinante com a i-ésima coluna substituída pelos termos constantes.

Passo 2

Regra de Cramer para um sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} com A\in\mathbb{R}^{3\times3}:
– Calcular
D = \det(A).
– Para cada incógnita x_i, formar D_i trocando a i-ésima coluna de A pelo vetor \mathbf{b}.
– Se D\neq0, há solução única dada por x_i=D_i/D.
– Se D=0 e todos os D_i=0, há infinitas soluções.
– Se D=0 e algum D_i\neq0, o sistema é incompatível (sem solução).

Passo 3

Sistema (a):
\begin{cases} 2x - y + z = 3,\\\ x + y + z = 6,\\\ x - y + 2z = 3. \end{cases}
Coeficientes A_a=\begin{pmatrix}2&-1&1\\\ 1&1&1\\\ 1&-1&2\end{pmatrix}.
Cálculo de
D_a = \det(A_a) = 2\,(1\cdot2 - 1\cdot(-1)) -(-1)\,(1\cdot2 - 1\cdot1) +1\,(1\cdot(-1)-1\cdot1) =5\neq0.
Agora D_{x,a}, D_{y,a}, D_{z,a}:
D_{x,a}=\det\begin{pmatrix}3&-1&1\\\ 6&1&1\\\ 3&-1&2\end{pmatrix}=9, \quad D_{y,a}=\det\begin{pmatrix}2&3&1\\\ 1&6&1\\\ 1&3&2\end{pmatrix}=12, \quad D_{z,a}=\det\begin{pmatrix}2&-1&3\\\ 1&1&6\\\ 1&-1&3\end{pmatrix}=9.
Logo
x=\frac{9}{5},\quad y=\frac{12}{5},\quad z=\frac{9}{5}.
Como D_a\neq0, há solução única.

Passo 4

Sistema (b):
\begin{cases} x+y+2z=1,\\\\ 3x+2y+5z=2,\\\\ 4x+3y+7z=3. \end{cases}
Matriz de coeficientes A_b=\begin{pmatrix}1&1&2\\\ 3&2&5\\\ 4&3&7\end{pmatrix}.
Calcula-se
D_b=\det(A_b)=0.
E verifica-se também
D_{x,b}=0,\quad D_{y,b}=0,\quad D_{z,b}=0.
Como D_b=0 e todos os D_{i,b}=0, o sistema tem infinitas soluções.
Para encontrar a forma geral, da primeira equação x=1-y-2z. Substituindo na segunda:
3(1-y-2z)+2y+5z=2\;\Longrightarrow\;y+z=1\;\Longrightarrow\;y=1-z.
Logo
x=-z,\quad y=1-z,\quad z\;\text{livre}.

Passo 5

Sistema (c):
\begin{cases} x+2y+z=5,\\\\ 3x+7y+2z=0,\\\\ 2x-5y+11z=13. \end{cases}
Matriz A_c=\begin{pmatrix}1&2&1\\\ 3&7&2\\\ 2&-5&11\end{pmatrix}.
Calcula-se
D_c=\det(A_c)=0,
mas
D_{x,c}=\det\begin{pmatrix}5&2&1\\\ 0&7&2\\\ 13&-5&11\end{pmatrix}=396\neq0.
Como D_c=0 e D_{x,c}\neq0, o sistema é incompatível (sem solução).

Passo 6

Sistema (d):
\begin{cases} x+y=9,\\\ x+z=8,\\\ y+z=5. \end{cases}
Matriz A_d=\begin{pmatrix}1&1&0\\\ 1&0&1\\\ 0&1&1\end{pmatrix}.
D_d=\det(A_d)=-2\neq0.
Calculando
D_{x,d}=\det\begin{pmatrix}9&1&0\\\ 8&0&1\\\ 5&1&1\end{pmatrix}=-12, \quad D_{y,d}=\det\begin{pmatrix}1&9&0\\\ 1&8&1\\\ 0&5&1\end{pmatrix}=-6, \quad D_{z,d}=\det\begin{pmatrix}1&1&9\\\ 1&0&8\\\ 0&1&5\end{pmatrix}=-4.
Logo
x=\frac{-12}{-2}=6,\quad y=\frac{-6}{-2}=3,\quad z=\frac{-4}{-2}=2.
Como D_d\neq0, há solução única.

Resposta

(a) \displaystyle\Bigl(\tfrac{9}{5},\,\tfrac{12}{5},\,\tfrac{9}{5}\Bigr) (única solução).
(b) Infinitas soluções, dadas por \displaystyle(x,y,z)=(-t,\,1-t,\,t), t\in\mathbb{R}.
(c) Sem solução (incompatível).
(d) \displaystyle(6,\,3,\,2) (única solução).

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