Resolver a Equação Diferencial:
d yd x+3 y=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
d yd x + 3 y = 6
Essa equação está relacionada ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, identifique os termos na equação padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
d yd x + P(x) y = Q(x)
No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante ( mu(x) = e^integral P(x) dx ) é dado por:
mu(x) = e^integral 3 dx = e^3x
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^3x cdot d yd x + 3 e^3x y = 6 e^3x
Isso simplifica a equação para uma forma onde o lado esquerdo é a derivada do produto .

Passo 5

Reescrevemos o lado esquerdo como uma derivada:
ddx ( e^3x y ) = 6 e^3x
Agora, para encontrar , vamos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral ddx ( e^3x y ) dx = integral 6 e^3x dx
Isso nos dá:
e^3x y = 63 e^3x + C
Simplificando:
e^3x y = 2 e^3x + C

Passo 7

Agora, resolvemos para y = 2 + C e^-3x dividindo ambos os lados por :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 2 + C e^-3x

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