Resolver a equação diferencial ordinária
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária que é:
Vamos usar séries de potências em torno de 
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar as coisas. Vamos definir 
Então, substituindo 
Passo 3
Agora, vamos expandir os termos:
E para o outro termo:
Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos supor que a solução 
Isso significa que 
Passo 5
Precisamos das derivadas de 
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Agora, vamos substituir 
Substituindo 
Passo 7
Vamos multiplicar os polinômios pelos séries:
Primeiro termo:
Substituindo 
Simplificando os índices:
Passo 8
Segundo termo:
Passo 9
Agora, juntando tudo na equação:
Passo 10
Agora, vamos alinhar os termos para igualar os coeficientes de 
Para cada potência de 
Simplificando:
Passo 11
Resolvendo para 
Essa é a nossa relação de recorrência, que nos permite encontrar os coeficientes da série a partir de 
Passo 12
Para encontrar a solução geral, precisamos definir 
Então, nossa solução é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada, usando séries de potências em 
Onde 
