Resolver equações diferenciais que permitem redução de ordem
y y^{\prime \prime}-\left(y^{\prime}\right)^{2}=0 ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem que admite redução de ordem
y\,y'' - (y')^2 = 0
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=2. Vamos usar a substituição p = y' e tratar p como função de y.

Passo 2

Definindo p = y', temos
y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\,\frac{dy}{dx} = p\,\frac{dp}{dy}.
Substituindo na equação original:
y\bigl(p\,\tfrac{dp}{dy}\bigr) - p^2 = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; y\,p\,\frac{dp}{dy} - p^2 = 0.

Passo 3

Assumindo p\neq0, dividimos por p:
y\,\frac{dp}{dy} - p = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{dp}{dy} = \frac{p}{y}.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
\frac{dp}{p} = \frac{dy}{y} \;\;\Longrightarrow\;\; \ln|p| = \ln|y| + C_1 \;\;\Longrightarrow\;\; p = C\,y,
onde C = e^{C_1} é constante.

Passo 5

Como p = y', temos
\frac{y'}{y} = C \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{dy}{y} = C\,dx \;\;\Longrightarrow\;\; \ln|y| = Cx + C_2 \;\;\Longrightarrow\;\; y = A\,e^{C x},
com A = e^{C_2}.

Passo 6

Usando y(0)=1 A=1. E y'(x)=C\,e^{C x} implica y'(0)=C=2. Portanto C=2.

Resposta

y(x) = e^{2x}.

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