Resolver as equações diferenciais que seguem, por separação de variáveis:
(x^2 + a^2)(y^2 + b^2) dx + (x^2 - a^2)(y^2 - b^2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente recebeu. O enunciado pede para resolver a equação por separação de variáveis. Isso faz parte do assunto de equações diferenciais ordinárias, onde a gente tenta isolar as variáveis e para conseguir integrar cada lado separadamente. Vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma que possamos separar as variáveis e . A equação dada é:
Vamos reorganizar essa equação para obter :

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis e . Vamos mover todos os termos envolvendo para um lado e os que envolvem para o outro:

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Primeiro, vamos simplificar as frações:
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos agora integrar cada termo:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:

Passo 6

Juntando tudo, temos:
Podemos reorganizar para deixar a equação mais limpa:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados