Resolver por escalonamento a sistemas:
l x+2 y+z+t=3 2 x-y+3 t=1 3 x+y-z+2 t=4 4 x+3 y-2 z+4 t=7 ; R:(1,1,0,0) Compatível e determinado í

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de escalonamento! Basicamente, vamos transformar as equações em uma matriz e fazer umas operações para simplificar até encontrar os valores de l x + 2y + z + t = 3 2x - y + 3t = 1 3x + y - z + 2t = 4 4x + 3y - 2z + 4t = 7 , , e . O sistema que temos é:

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis numa matriz e os números do lado direito das igualdades numa coluna separada:
1 & 2 & 1 & 1 & | & 3 2 & -1 & 0 & 3 & | & 1 3 & 1 & -1 & 2 & | & 4 4 & 3 & -2 & 4 & | & 7

Passo 3

Vamos começar a “escalonar” a matriz, o que significa deixar zeros abaixo dos pivôs (os primeiros números diferentes de zero em cada linha). Já temos um 1 na primeira posição, então vamos usar ele para zerar os números abaixo:
  • Eliminando o 2 da segunda linha: Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
    1 & 2 & 1 & 1 & | & 3 0 & -5 & -2 & 1 & | & -5 0 & -5 & -4 & -1 & | & -5 0 & -5 & -6 & 0 & | & -5
  • Eliminando o 3 da terceira linha: Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
  • Eliminando o 4 da quarta linha: Subtraímos 4 vezes a primeira linha da quarta linha.
Após essas operações, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, focamos na segunda coluna e queremos um 1 como pivô. Para isso, vamos dividir a segunda linha por -5:
R2' = R2-5
Ficando assim:
1 & 2 & 1 & 1 & | & 3 0 & 1 & 25 & -15 & | & 1 0 & -5 & -4 & -1 & | & -5 0 & -5 & -6 & 0 & | & -5

Passo 5

Vamos usar esse pivô de 1 na segunda linha para zerar os -5 das linhas abaixo:
  • Para a terceira linha:
    1 & 2 & 1 & 1 & | & 3 0 & 1 & 25 & -15 & | & 1 0 & 0 & -2 & -2 & | & 0 0 & 0 & -4 & -1 & | & 0
  • Para a quarta linha:
A matriz agora fica:

Passo 6

Seguimos para a terceira coluna. Queremos um 1 como pivô na terceira linha, então dividimos essa linha por -2:
R3' = R3-2
Ficando:
1 & 2 & 1 & 1 & | & 3 0 & 1 & 25 & -15 & | & 1 0 & 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & -4 & -1 & | & 0

Passo 7

Agora, vamos zerar o -4 da quarta linha usando o pivô que acabamos de criar:
R4' = R4 + 4R3
A matriz fica:
1 & 2 & 1 & 1 & | & 3 0 & 1 & 25 & -15 & | & 1 0 & 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & 3 & | & 0

Passo 8

Agora, na quarta coluna, temos um 3 como pivô. Vamos simplificar dividindo a quarta linha por 3:
R4' = R43
Ficando:
1 & 2 & 1 & 1 & | & 3 0 & 1 & 25 & -15 & | & 1 0 & 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0

Passo 9

Agora, é hora de fazer a substituição para encontrar os valores das variáveis:
  1. Da quarta linha:
  2. Da terceira linha: → como , então
  3. Da segunda linha: → substituindo e , temos
  4. Da primeira linha: → substituindo , e , temos

Resposta

A solução do sistema é , , e .

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