Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada. Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado? (Use π = 3)
A) 0,5
B) 1,0
C) 2,0
D) 3,5
E) 8,0
A) 0,5
B) 1,0
C) 2,0
D) 3,5
E) 8,0
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma cisterna cilíndrica que precisa aumentar de tamanho para comportar mais água. A cisterna atual tem 3 metros de altura e 2 metros de diâmetro. Queremos construir uma nova cisterna com a mesma altura, mas que consiga armazenar 81 metros cúbicos de água. Para isso, vamos precisar entender como calcular o volume de um cilindro e descobrir quanto devemos aumentar o raio para atingir o volume desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
Onde:
- $ V $ é o volume,
- $ r $ é o raio da base,
- $ h $ é a altura,
- $ \pi $ é aproximadamente 3 (conforme dado no problema).
Passo 3
Vamos calcular o volume da cisterna atual para termos uma referência. Sabemos que o diâmetro é 2 metros, então o raio $ r_1 $ é metade disso:
A altura $ h $ é 3 metros. Aplicando na fórmula:
A cisterna atual comporta 9 metros cúbicos de água.
Passo 4
Agora, queremos que a nova cisterna tenha um volume $ V_2 $ de 81 metros cúbicos, mantendo a mesma altura de 3 metros. Vamos usar a fórmula do volume para encontrar o novo raio $ r_2 $:
Passo 5
Simplificando a equação:
Agora, isolamos $ r_2^2 $:
Passo 6
Para encontrar $ r_2 $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, o novo raio precisa ser 3 metros.
Passo 7
Agora, vamos descobrir o quanto o raio precisa aumentar. Sabemos que o raio inicial $ r_1 $ é 1 metro e o novo raio $ r_2 $ é 3 metros.
Resposta
O raio da cisterna deve aumentar 2,0 metros para alcançar o volume desejado. Alternativa C.