Resolver o problema interno Delta u = 0, u(R, phi) = f(phi) no plano se: a) f(phi) = A; b) f(φ) = A x + B c) f(phi) = A + B y d) f(varphi) = A x^2 e) f(phi) = A*y^2 f) phi = A x y, onde A, B são constantes.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar funções harmônicas no interior de um círculo de raio no plano, onde a função satisfaz a equação de Laplace . O contorno está definido como , e precisamos resolver para diferentes formas de . Para isso, usaremos a expressão geral em coordenadas polares e exploraremos a série de Fourier quando necessário.

Passo 2

Primeiro, lembramos que em coordenadas polares, a equação de Laplace é dada por:
A solução geral para essa equação no interior do círculo pode ser expressa como uma série de Fourier:
Agora, vamos resolver cada caso específico.

a)

Passo 3

Aqui, a condição de contorno é constante, ou seja, . Comparando com a solução geral, observamos que apenas o termo é constante. Todos os outros coeficientes e devem ser zero para manter a constância.

Passo 4

Primeiro, expressamos em coordenadas polares: . Assim, . Considerando que estamos no contorno , temos:
Comparando com a solução geral, identificamos:
Portanto, e todos os outros coeficientes são zero.

Passo 5

Expressamos em coordenadas polares: . Assim, . No contorno :
Comparando com a solução geral:
Logo, e os demais coeficientes são zero.

Passo 6

Primeiro, expressamos em coordenadas polares: . Portanto, . No contorno :
Comparando com a solução geral:
Os demais coeficientes são zero.

Passo 7

Expressamos em coordenadas polares: . Assim, . No contorno :
Comparando com a solução geral:
Os demais coeficientes são zero.

Passo 8

Expressamos em coordenadas polares: . Assim, . No contorno :
Comparando com a solução geral:
Os demais coeficientes são zero.

Resposta

A solução é .

Resumo Final

Para cada caso a) a f), as soluções harmônicas internas ao círculo de raio são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)

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