Resolver os problemas de valor inicial
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=-\frac{\cos x}{\operatorname{sen} y} \y(\pi / 2)=\pi / 2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
  • Equação diferencial: \dfrac{d y}{d x} = -\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} y}.
  • Condição inicial: y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}.
O que é pedido: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial (isto é, resolver o problema de valor inicial).

Passo 2

Decidindo o método (sem resolver ainda): a equação está escrita com o lado direito expresso como função factorizada de x e y separadamente, o que sugere que é uma equação de variáveis separáveis. Vou usar o método de separação de variáveis.
Breve aula sobre variáveis separáveis (didática): uma equação da forma
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)
é “separável” porque podemos rearranjar para colocar todos os termos com y multiplicando dy num lado e todos os termos com x multiplicando dx no outro, ficando
\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx,
e então integramos ambos os lados. Aqui é preciso ter atenção: só se pode dividir por expressões que não sejam zero no intervalo considerado. Depois da integração aparece uma constante de integração que será determinada pela condição inicial.

Passo 3

Aplicando separação de variáveis ao caso concreto. Começo por reescrever a equação e mover os fatores com y para o lado esquerdo e os fatores com x para o lado direito:
\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{\operatorname{sen} y} \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen} y\,dy = -\cos x\,dx.
Expliquei: multipliquei ambos os lados por \operatorname{sen} y (assumindo \operatorname{sen} y\neq0 no intervalo onde a solução é válida) e por dx para obter a forma separada.

Passo 4

Integro ambos os lados. Vou integrar em y do lado esquerdo e em x do lado direito:
\int \operatorname{sen} y\,dy = \int -\cos x\,dx.
Agora calculo as integrais explicitamente. Lembrete de integração (didática rápida): \int \operatorname{sen} u\,du = -\cos u + C e \int \cos u\,du = \operatorname{sen} u + C. Aplicando isso:
-\cos y = -\operatorname{sen} x + C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por -1 para simplificar:
\cos y = \operatorname{sen} x + C_1,
onde C_1=-C é outra constante (é só renomear).

Passo 5

Determino a constante usando a condição inicial. A condição é y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}. Substituo x=\dfrac{\pi}{2} e y=\dfrac{\pi}{2} na expressão \cos y = \operatorname{sen} x + C_1:
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right) + C_1.
Como \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 e \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1, obtemos
0 = 1 + C_1 \quad\Longrightarrow\quad C_1=-1.
Logo a solução implícita particular é
\cos y = \operatorname{sen} x - 1.

Passo 6

Passo para a forma explícita y(x). Da relação \cos y = \operatorname{sen} x - 1 isolamos y aplicando a função arco cosseno:
y(x)=\operatorname{arccos}\!\big(\operatorname{sen} x - 1\big).
Explicando o que isso significa (didática sobre a função arco): \operatorname{arccos} retorna um valor em [0,\pi]. Para a nossa condição inicial temos y\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac{\pi}{2}, e de fato \operatorname{arccos}(1-1)=\operatorname{arccos}(0)=\tfrac{\pi}{2}, então escolhemos a ramificação padrão de \operatorname{arccos} que contém \tfrac{\pi}{2}.

Passo 7

Discussão do domínio (onde a solução faz sentido). A expressão \operatorname{arccos}(\cdot) exige que o argumento esteja em [-1,1]. Aqui o argumento é \operatorname{sen} x - 1. Logo precisamos
-1 \le \operatorname{sen} x - 1 \le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 0 \le \operatorname{sen} x \le 2.
Como \operatorname{sen} x\le1 sempre, a restrição efetiva é \operatorname{sen} x \ge 0. Portanto a solução é válida onde \operatorname{sen} x \ge 0. O maior intervalo que contém x=\dfrac{\pi}{2} e onde \operatorname{sen} x\ge0 é
x\in(0,\pi)
(mais geralmente em cada intervalo [2k\pi,(2k+1)\pi], mas o que interessa para o valor inicial dado é o intervalo que contém \dfrac{\pi}{2}, ou seja (0,\pi)). Observação importante: em x=0 ou x=\pi tem \operatorname{sen} x=0 e então \cos y=-1\Rightarrow y=\pi, mas nesses pontos \operatorname{sen} y=0 e a equação diferencial original tem denominador zero — por isso a solução torna-se problemática exatamente nos extremos; por isso tomamos o intervalo aberto (0,\pi) como domínio de existência e unicidade da solução que parte de x=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 8

Verificação rápida (checagem): diferencio implicitamente \cos y=\operatorname{sen} x -1. Derivando ambos os lados em relação a x,
-\operatorname{sen} y\cdot \frac{dy}{dx} = \cos x.
Isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos
\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{\operatorname{sen} y},
que coincide com a equação original, confirmando que a solução encontrada está correta (onde \operatorname{sen} y\neq0).

Passo 9

Resumo didático final: a técnica principal foi separar as variáveis, integrar cada lado e aplicar a condição inicial para fixar a constante. A solução explícita é y(x)=\operatorname{arccos}(\operatorname{sen} x-1) e é válida no intervalo onde \operatorname{sen} x\ge0 contendo \dfrac{\pi}{2}, isto é, em (0,\pi). Mantenha em mente: sempre verificar domínio do argumento das funções inversas e pontos onde a equação original fica indefinida (aqui quando \operatorname{sen} y=0).

Resposta

y(x)=\operatorname{arccos}\!\big(\operatorname{sen} x-1\big),\quad x\in(0,\pi)