Resolver os problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que é pedido: encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial (isto é, resolver o problema de valor inicial).
Passo 2
Decidindo o método (sem resolver ainda): a equação está escrita com o lado direito expresso como função factorizada de
e
separadamente, o que sugere que é uma equação de variáveis separáveis. Vou usar o método de separação de variáveis.
Breve aula sobre variáveis separáveis (didática): uma equação da forma
é “separável” porque podemos rearranjar para colocar todos os termos com
multiplicando
num lado e todos os termos com
multiplicando
no outro, ficando
e então integramos ambos os lados. Aqui é preciso ter atenção: só se pode dividir por expressões que não sejam zero no intervalo considerado. Depois da integração aparece uma constante de integração que será determinada pela condição inicial.
Passo 3
Aplicando separação de variáveis ao caso concreto. Começo por reescrever a equação e mover os fatores com
para o lado esquerdo e os fatores com
para o lado direito:
Expliquei: multipliquei ambos os lados por
(assumindo
no intervalo onde a solução é válida) e por
para obter a forma separada.
Passo 4
Integro ambos os lados. Vou integrar em
do lado esquerdo e em
do lado direito:
Agora calculo as integrais explicitamente. Lembrete de integração (didática rápida):
e
. Aplicando isso:
onde
é a constante de integração. Multiplicando por
para simplificar:
onde
é outra constante (é só renomear).
Passo 5
Determino a constante usando a condição inicial. A condição é
. Substituo
e
na expressão
:
Como
e
, obtemos
Logo a solução implícita particular é
Passo 6
Passo para a forma explícita
. Da relação
isolamos
aplicando a função arco cosseno:
Explicando o que isso significa (didática sobre a função arco):
retorna um valor em
. Para a nossa condição inicial temos
, e de fato
, então escolhemos a ramificação padrão de
que contém
.
Passo 7
Discussão do domínio (onde a solução faz sentido). A expressão
exige que o argumento esteja em
. Aqui o argumento é
. Logo precisamos
Como
sempre, a restrição efetiva é
. Portanto a solução é válida onde
. O maior intervalo que contém
e onde
é
(mais geralmente em cada intervalo
, mas o que interessa para o valor inicial dado é o intervalo que contém
, ou seja
). Observação importante: em
ou
tem
e então
, mas nesses pontos
e a equação diferencial original tem denominador zero — por isso a solução torna-se problemática exatamente nos extremos; por isso tomamos o intervalo aberto
como domínio de existência e unicidade da solução que parte de
.
Passo 8
Verificação rápida (checagem): diferencio implicitamente
. Derivando ambos os lados em relação a
,
Isolando
obtemos
que coincide com a equação original, confirmando que a solução encontrada está correta (onde
).
Passo 9
Resumo didático final: a técnica principal foi separar as variáveis, integrar cada lado e aplicar a condição inicial para fixar a constante. A solução explícita é
e é válida no intervalo onde
contendo
, isto é, em
. Mantenha em mente: sempre verificar domínio do argumento das funções inversas e pontos onde a equação original fica indefinida (aqui quando
).