Resolver os problemas de valor inicial a seguir:
y^{\prime}(t)=\frac{1-y^{2}}{t y}, \quad y(2)=-\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial
y'(t)=\frac{1-y^{2}}{t\,y}, \quad y(2)=-\frac12.
Este é um problema de equação de variáveis separáveis: podemos escrever todos os termos em y de um lado e em t do outro.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por \tfrac{y}{1-y^{2}} e por dt:
\frac{y}{1-y^{2}}\,dy = \frac{1}{t}\,dt.

Passo 3

Integramos os dois lados. Para o lado esquerdo, fazemos a substituição u=1-y^{2}, du=-2y\,dy. Então
\int \frac{y}{1-y^{2}}\,dy = -\frac12\int \frac{du}{u} = -\frac12\ln\bigl|u\bigr| = -\frac12\ln\bigl|1-y^{2}\bigr|.
No lado direito,
\int \frac{1}{t}\,dt = \ln\bigl|t\bigr| + C.
Logo a primitiva geral satisfaz
-\tfrac12\ln\bigl|1-y^{2}\bigr| = \ln\bigl|t\bigr| + C.

Passo 4

Reescrevendo,
\ln\bigl|1-y^{2}\bigr| = -2\ln\bigl|t\bigr| + C' = \ln\bigl(t^{-2}\bigr) + C',
de onde
\bigl|1-y^{2}\bigr| = A\,t^{-2},
com A=e^{C'}. Podemos então escrever sem valor absoluto:
1 - y^{2} = \frac{C}{t^{2}},
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Isolando y,
y^{2} = 1 - \frac{C}{t^{2}}, \quad y = \pm\sqrt{1 - \frac{C}{t^{2}}}.
Para impor y(2)=-\tfrac12, temos
\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{2} = \tfrac14 = 1 - \frac{C}{2^{2}} \;\Longrightarrow\; \frac{C}{4}=1-\tfrac14=\tfrac34 \;\Longrightarrow\; C=3.

Passo 6

Portanto a solução geral com a constante C=3 é
y(t)=\pm\sqrt{1-\frac{3}{t^{2}}}.
Como y(2)=-\tfrac12 é negativo, escolhemos o sinal menos. Além disso, para o radical ser real, precisamos 1-3/t^{2}\ge0, ou seja \lvert t\rvert\ge \sqrt{3}. Começando em t=2>0, o domínio relevante é t\ge\sqrt{3}.

Resposta

y(t) = -\sqrt{1 - \frac{3}{t^{2}}}, \quad t\ge \sqrt{3}.

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