Resolver os seguinte problemas de otimização:
max f(x, y) = x * y s.a. x^2 + y^2 <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de otimização juntos! A gente quer encontrar os valores de e que maximizam a função , considerando que e estão dentro da circunferência . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente como encontrar máximos de funções com restrições usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, sabemos que para encontrar o máximo de sujeito à restrição (vamos considerar a igualdade porque o máximo provavelmente ocorrerá na borda), usamos os multiplicadores de Lagrange. Isso significa que a gente vai resolver o sistema onde o gradiente de é igual ao gradiente da restrição vezes um multiplicador .

Passo 3

Calculando os gradientes:
Onde .

Passo 4

Aplicando a condição de Lagrange:
Isso dá as equações:
E ainda temos a restrição .

Passo 5

Vamos resolver o sistema. Da primeira equação, . Substituindo na segunda, , ou seja, . Se , então , logo .

Passo 6

Para :
Usando com :
Para :
Usando com :

Passo 7

Agora, vamos avaliar nos pontos encontrados:

Resposta

O valor máximo de sujeito à restrição é .

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