Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem seis, com coeficientes constantes,
O que vamos precisar é: (i) achar a solução geral
da equação homogênea associada, usando a equação característica; (ii) obter uma solução particular
para o termo
por coeficientes indeterminados; (iii) obter uma solução particular para o termo
também por coeficientes indeterminados; (iv) somar tudo em
.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada a
como
Fatorando
, fica
Logo
é uma raiz, e as outras cinco raízes
vêm de
Chamando essas raízes (reais ou complexas) de
, a parte homogênea é
ou seja
Passo 3
Para o termo
do lado direito, como
não anula o polinômio característico (testa-se em
), propomos
Derivando e substituindo em
obtemos uma equação algébrica em
. Em detalhe:
de onde
Passo 4
Para o termo
, usamos o método dos coeficientes indeterminados com ansatz
Calcula-se
, substitui-se na equação diferencial e iguala-se termo a termo os coeficientes de
e
para
. Isso gera um sistema linear em
, que se resolve por comparação de coeficientes.
Passo 5
A solução particular completa é
E a solução geral da EDO é
com
do Passo 2,
do Passo 4 e
Resposta
onde
são as raízes de
e os coeficientes
se determinam por comparação no método de coeficientes indeterminados.