Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(6)}-7 y^{(5)}+10 y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}=x^{3} \cos (x)+e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem seis, com coeficientes constantes,
y^{(6)} \;-\;7\,y^{(5)} \;+\;10\,y'' \;+\;8\,y' \;=\;x^{3}\cos(x)\;+\;e^{3x}.
O que vamos precisar é: (i) achar a solução geral y_{h} da equação homogênea associada, usando a equação característica; (ii) obter uma solução particular y_{p} para o termo e^{3x} por coeficientes indeterminados; (iii) obter uma solução particular para o termo x^{3}\cos(x) também por coeficientes indeterminados; (iv) somar tudo em y=y_{h}+y_{p}.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a
y^{(6)} -7\,y^{(5)} +0\,y^{(4)} +0\,y^{(3)} +10\,y'' +8\,y' = 0
como
r^{6} \;-\;7\,r^{5}\;+\;10\,r^{2}\;+\;8\,r \;=\;0.
Fatorando r, fica
r\;\bigl(r^{5}-7\,r^{4}+10\,r+8\bigr)=0.
Logo r=0 é uma raiz, e as outras cinco raízes r_{2},\dots,r_{6} vêm de
r^{5}-7\,r^{4}+10\,r+8=0.
Chamando essas raízes (reais ou complexas) de r_{2},\dots,r_{6}, a parte homogênea é
y_{h}(x) = C_{1}\,e^{0\cdot x} + C_{2}\,e^{r_{2}x} + C_{3}\,e^{r_{3}x} + C_{4}\,e^{r_{4}x} + C_{5}\,e^{r_{5}x} + C_{6}\,e^{r_{6}x},
ou seja
y_{h}(x) = C_{1} + \sum_{k=2}^{6}C_{k}\,e^{r_{k}x}.

Passo 3

Para o termo e^{3x} do lado direito, como r=3 não anula o polinômio característico (testa-se em r=3), propomos
y_{p,2}(x)=A\,e^{3x}.
Derivando e substituindo em
y^{(6)}-7y^{(5)}+10y''+8y' = e^{3x},
obtemos uma equação algébrica em A. Em detalhe:
\bigl[D^{6}-7D^{5}+10D^{2}+8D\bigr](A e^{3x}) = A\,e^{3x}\bigl(3^{6}-7\cdot3^{5}+10\cdot3^{2}+8\cdot3\bigr)
de onde
A =\frac{1}{3^{6}-7\cdot3^{5}+10\cdot3^{2}+8\cdot3}.

Passo 4

Para o termo x^{3}\cos x, usamos o método dos coeficientes indeterminados com ansatz
y_{p,1}(x) =\bigl(a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\bigr)\cos x \;+\; \bigl(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}\bigr)\sin x.
Calcula-se y_{p,1}',y_{p,1}'',\dots,y_{p,1}^{(6)}, substitui-se na equação diferencial e iguala-se termo a termo os coeficientes de x^{k}\cos x e x^{k}\sin x para k=0,1,2,3. Isso gera um sistema linear em \{a_{i},b_{i}\}, que se resolve por comparação de coeficientes.

Passo 5

A solução particular completa é
y_{p}(x) = y_{p,1}(x) \;+\; y_{p,2}(x).
E a solução geral da EDO é
\boxed{ y(x) = y_{h}(x) + y_{p,1}(x) + A\,e^{3x}, }
com y_{h} do Passo 2, y_{p,1} do Passo 4 e
A=\frac{1}{3^{6}-7\cdot3^{5}+10\cdot3^{2}+8\cdot3}.

Resposta

y(x) = C_{1} + \sum_{k=2}^{6}C_{k}\,e^{r_{k}x} + \bigl(a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\bigr)\cos x + \bigl(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}\bigr)\sin x + \frac{e^{3x}}{3^{6}-7\cdot3^{5}+10\cdot3^{2}+8\cdot3},
onde r_{2},\dots,r_{6} são as raízes de \,r^{5}-7r^{4}+10r+8=0 e os coeficientes a_{i},b_{i} se determinam por comparação no método de coeficientes indeterminados.

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