Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(4)}+2 y^{(3)}-5 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=x \cos (x)+e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de coeficientes constantes
y^{(4)} + 2y^{(3)} -5y'' +4y' \;=\; x\cos x \;+\; e^x.
Isto é, o operador linear é
L[y] = y^{(4)} + 2y^{(3)} -5y'' +4y'.
Vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea L[y]=0 (parte de matéria: equações lineares com coeficientes constantes) e depois um y_p particular para o termo não-homogêneo x\cos x + e^x.

Passo 2

Equação característica de L[y]=0 é
r^4 +2r^3 -5r^2 +4r = 0.
Fatorando r obtemos
r\,(r^3 +2r^2 -5r +4) = 0.
Logo uma raiz é r_1 = 0 e as outras três raízes \{r_2,r_3,r_4\} vêm da cúbica r^3+2r^2-5r+4=0, que não admite raízes racionais simples. Portanto a solução da parte homogênea é
y_h(x) = C_1 \;+\; C_2 e^{r_2 x} \;+\; C_3 e^{r_3 x} \;+\; C_4 e^{r_4 x},
onde C_1,\dots,C_4 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para achar um particular y_p, separamos a forçante em dois termos:
  1. x\cos x, cujo operador associado sugere um «ansatz» da forma
y_{p1}(x) = (a\,x + b)\cos x \;+\;(c\,x + d)\sin x,
pois \cos x e \sin x não estão no núcleo de L.
2. e^x, cuja raiz r=1 não anula a característica (pois 1+2-5+4=2\neq0), logo
y_{p2}(x) = A\,e^x.
Assim
y_p(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x).

Passo 4

Calculamos L[y_{p1}]\). Diferenciando repetidas vezes e agrupando termos em \(\cos x\) e \(\sin x\) obtemos, após bastante álgebra, \[L[y_{p1}] = \bigl((6a+2c)x +(-2a+6b-14c+2d)\bigr)\cos x + \bigl((-2a+6c)x +(14a-2b-2c+6d)\bigr)\sin x.
Queremos L[y_{p1}]=x\cos x. Igualando coeficientes de x\cos x, \cos x, x\sin x e \sin x, surge o sistema
\begin{cases} 6a+2c = 1,\\\\ -2a+6b-14c+2d = 0,\\\\ -2a+6c = 0,\\\\ 14a-2b-2c+6d = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem c=a/3\]. Da primeira, \(20a/3=1 implica a=3/20, c=1/20.
Das duas últimas equações resolve-se
b=\tfrac14,\quad d=-\tfrac14.
Logo
y_{p1}(x) = \Bigl(\tfrac{3}{20}x + \tfrac14\Bigr)\cos x + \Bigl(\tfrac{1}{20}x - \tfrac14\Bigr)\sin x.

Passo 5

Agora y_{p2}(x)=A e^x. Como todas as derivadas são A e^x, temos
L[y_{p2}] = (1+2-5+4)\,A e^x = 2A\,e^x.
Para igualar ao termo e^x da forçante, basta 2A=1, ou seja A=\tfrac12. Assim
y_{p2}(x) = \tfrac12\,e^x.

Passo 6

A solução geral da EDO é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + C_4 e^{r_4 x} + \Bigl(\tfrac{3}{20}x + \tfrac14\Bigr)\cos x + \Bigl(\tfrac{1}{20}x - \tfrac14\Bigr)\sin x + \tfrac12\,e^x.

Resposta

\boxed{ y(x) = C_1 + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + C_4 e^{r_4 x} + \Bigl(\tfrac{3}{20}x + \tfrac14\Bigr)\cos x + \Bigl(\tfrac{1}{20}x - \tfrac14\Bigr)\sin x + \tfrac12\,e^x, }
onde r_2,r_3,r_4 são as raízes da cúbica r^3+2r^2-5r+4=0.

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