Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(5)}+y^{(4)}-2 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=\cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de ordem 5 com coeficientes constantes
y^{(5)} + y^{(4)} - 2y'' + 3y' = \cos(x).
O procedimento é: (1) encontrar a solução geral da homogênea via equação característica; (2) achar uma solução particular por coeficientes a determinar; (3) somar as duas partes.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y^{(5)} + y^{(4)} - 2y'' + 3y' = 0
e escrevemos a equação característica
r^5 + r^4 -2r^2 +3r =0.
Fatorando r, obtemos
r\,(r^4 + r^3 -2r +3)=0.
Portanto r_1=0 e as outras quatro raízes r_2,r_3,r_4,r_5 são as soluções da equação
r^4 + r^3 -2r +3=0.
Em geral não há fatoração elementar simples, de modo que a solução homogênea fica
y_h(x)=C_1\,e^{0\cdot x}+C_2e^{r_2x}+C_3e^{r_3x}+C_4e^{r_4x}+C_5e^{r_5x} =C_1 + C_2e^{r_2x}+C_3e^{r_3x}+C_4e^{r_4x}+C_5e^{r_5x}.

Passo 3

Para uma solução particular \,y_p tentamos o “chute”
y_p = A\cos(x)+B\sin(x).
Calculamos as derivadas necessárias e substituímos na equação original. Depois de agrupar termos em \cos(x) e \sin(x), obtemos o sistema
\begin{cases} 3A + 4B = 1,\\\\ -4A + 3B = 0. \end{cases}
Resolvendo, achamos
A = \tfrac{3}{25}, \quad B = \tfrac{4}{25},
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y_p(x)=\frac{3}{25}\cos(x)+\frac{4}{25}\sin(x).

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2e^{r_2x}+C_3e^{r_3x}+C_4e^{r_4x}+C_5e^{r_5x} +\frac{3}{25}\cos(x)+\frac{4}{25}\sin(x),
onde r_2,r_3,r_4,r_5 são as raízes da equação r^4 + r^3 -2r +3=0.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2e^{r_2x}+C_3e^{r_3x}+C_4e^{r_4x}+C_5e^{r_5x} +\frac{3}{25}\cos(x)+\frac{4}{25}\sin(x),
com r_1=0 e r_2,r_3,r_4,r_5 raízes de \,r^4+r^3-2r+3=0.

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